Questão de Estatística · FCC TRT18 2022 (nº 43)

O teste de hipóteses para a média nos ajuda a decidir se a média de uma população ($\mu$) é diferente de um valor específico, ou maior/menor que ele, usando dados de uma amostra. Para isso, calculamos um estatística de teste (aqui, o Z-score) e comparamos com um valor crítico (limite da região de rejeição) para um dado nível de significância ($\alpha$), que é a chance de errar ao rejeitar a hipótese nula (H₀) quando ela é verdadeira.

Dados do problema:

• H₀: \mu = R\ 5.000,00$
• H₁: \mu > R\ 5.000,00$ (teste unilateral à direita)
• Tamanho da amostra ($n$) = 144
• Desvio padrão populacional ($\sigma$) = R$ 240,00
• Erro padrão da média ($\sigma_{\bar{x}}$) = $\sigma / \sqrt{n} = 240 / \sqrt{144} = 240 / 12 = 20$.

Para rejeitar H₀, o valor da média amostral ($\bar{x}$) deve ser suficientemente maior que R$ 5.000,00. O valor crítico de $\bar{x}$ é calculado por $\bar{x}_{crítico} = \mu_0 + Z_{crítico} \times \sigma_{\bar{x}}$.

Determinando os valores críticos de Z e $\bar{x}$:

• Nível de significância $\alpha = 5\%$ (0.05):
  Para um teste unilateral à direita, precisamos de $P(Z > Z_{crítico}) = 0.05$.
  Na tabela, procuramos $P(0 < Z \le z) = 0.5 - 0.05 = 0.45$.
  Entre $z=1.64$ ($P=0.4495$) e $z=1.65$ ($P=0.4505$), o valor mais próximo ou comumente usado é $Z_{crítico} \approx 1.64$ (ou 1.645, mas as alternativas sugerem 1.64).
  Então, undefined 5.032,80$. Região de rejeição para$\alpha = 5%: \bar{x} > R$ 5.032,80$.

• Nível de significância $\alpha = 10\%$ (0.10):
  Para um teste unilateral à direita, precisamos de $P(Z > Z_{crítico}) = 0.10$.
  Na tabela, procuramos $P(0 < Z \le z) = 0.5 - 0.10 = 0.40$.
  O valor mais próximo é $z=1.28$ ($P=0.3997$).
  Então, undefined 5.025,60$. Região de rejeição para$\alpha = 10%: \bar{x} > R$ 5.025,60$.

Analisando as alternativas:

(A) Incorreta: Se \bar{x} = R\ 5.030,00$:

• Para $\alpha = 5\%$: $5030 \ngtr 5032.80$. H₀ NÃO é rejeitada.
• Para $\alpha = 10\%$: $5030 > 5025.60$. H₀ É rejeitada.
  A afirmação de que H₀ será rejeitada em ambos os níveis é falsa.

(B) Correta: Se \bar{x} < R\ 5.032,80$:

• Para $\alpha = 5\%$: A região de rejeição é \bar{x} > R\ 5.032,80$. Se$\bar{x}$ é menor que esse valor, ele não está na região de rejeição. Portanto, H₀ NÃO será rejeitada. Esta afirmação é verdadeira.

(C) Incorreta: Se $R$ 5.025,60 < \bar{x} < R$ 5.032,80$:

• Para $\alpha = 5\%$: Como $\bar{x} < 5032.80$, H₀ NÃO será rejeitada. (Parte da afirmação é verdadeira).
• Para $\alpha = 10\%$: Como $\bar{x} > 5025.60$ (dentro do intervalo dado), H₀ SERÁ rejeitada.
  A afirmação de que H₀ não será rejeitada tanto ao nível de 5% como ao de 10% é falsa, pois seria rejeitada a 10%. Armadilha da banca: A palavra "tanto" (ambos) é crucial. Embora H₀ não seja rejeitada a 5%, ela seria rejeitada a 10% para qualquer $\bar{x}$ nesse intervalo, tornando a afirmação geral falsa.

(D) Incorreta: Se \bar{x} = R\ 5.040,00$:

• Para $\alpha = 5\%$: $5040 > 5032.80$. H₀ É rejeitada.
  A afirmação de que H₀ não será rejeitada é falsa.

(E) Incorreta: Se \bar{x} > R\ 5.000,00$: Esta condição é muito ampla. Por exemplo, se$\bar{x} = R$ 5.001,00$, não há evidência suficiente para rejeitar H₀ em nenhum dos níveis de significância calculados, pois$5001 \ngtr 5032.80$e$5001 \ngtr 5025.60$. A rejeição de H₀ depende de quão "muito maior"$\bar{x}$é em relação a$\mu_0$, e não apenas de ser maior. A afirmação de que H₀ será rejeitada para qualquer nível de significância é falsa.