Questão de Estatística · FCC TRT18 2022 (nº 40)

A Distribuição de Poisson é usada para calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrerem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média constante e de forma independente. A fórmula é $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$, onde $k$ é o número de eventos desejado e $\lambda$ (lambda) é a média de eventos no intervalo.

• Contexto da questão: O número de falhas por dia segue uma distribuição de Poisson com média de 1 falha por dia ($\lambda = 1$).
• Ponto-chave: A informação de que o aparelho não apresentou falhas em um dia anterior é uma armadilha. Em processos de Poisson, os eventos em intervalos de tempo disjuntos são independentes. O que aconteceu no passado não afeta a probabilidade de eventos futuros. Portanto, essa informação é irrelevante para a pergunta sobre os "2 dias seguintes".
• Cálculo do novo $\lambda$: Se a média é de 1 falha por dia, para um período de 2 dias, a nova média $\lambda'$ será $1 \text{ falha/dia} \times 2 \text{ dias} = 2$ falhas.
• O que se pede: A probabilidade de que nos 2 dias seguintes o aparelho apresente, no máximo, duas falhas. Isso significa $P(X \le 2)$, onde $X$ é o número de falhas nos 2 dias.
• $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$, usando $\lambda' = 2$.
  • $P(X=0) = \frac{2^0 e^{-2}}{0!} = \frac{1 \cdot e^{-2}}{1} = e^{-2}$
  • $P(X=1) = \frac{2^1 e^{-2}}{1!} = \frac{2 \cdot e^{-2}}{1} = 2e^{-2}$
  • $P(X=2) = \frac{2^2 e^{-2}}{2!} = \frac{4 \cdot e^{-2}}{2} = 2e^{-2}$
• Somando as probabilidades: $P(X \le 2) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = (1+2+2)e^{-2} = 5e^{-2}$.

(A) Incorreta: Esta alternativa ($4e^{-2}$) representaria a soma de $P(X=1)$ e $P(X=2)$ ou outra combinação incorreta, não a probabilidade de "no máximo duas falhas".
(B) Incorreta: Esta alternativa ($5e^{-1/2}$) usa um valor de $\lambda$ incorreto para o período de 2 dias (que deveria ser 2) e não corresponde aos cálculos.
(C) Correta: Esta é a resposta correta, $5e^{-2}$, obtida pela soma das probabilidades de 0, 1 ou 2 falhas em um período de 2 dias, com uma taxa média de 2 falhas para esse período.
(D) Incorreta: Esta alternativa ($5e^{-1}$) é um distrator tentador. Ela sugere que o aluno pode ter mantido $\lambda=1$ (a média diária) em vez de ajustá-la para $\lambda=2$ (a média para 2 dias), ou que somou as probabilidades de forma incorreta para $\lambda=1$. Se $\lambda=1$, $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = e^{-1} + 1e^{-1} + \frac{1^2 e^{-1}}{2!} = e^{-1} + e^{-1} + 0.5e^{-1} = 2.5e^{-1}$, que não é $5e^{-1}$. A armadilha aqui é não ajustar corretamente o parâmetro $\lambda$ para o novo intervalo de tempo.
(E) Incorreta: Esta alternativa ($10e^{-2}$) não corresponde a nenhuma soma de probabilidades válida para $\lambda=2$.