Questão de Estatística · FCC TRT-14 2018 (nº 59)

Um processo de série temporal é estacionário quando suas propriedades estatísticas, como média e variância, não mudam ao longo do tempo. Para um processo AR(p), isso significa que os coeficientes do modelo devem satisfazer certas condições para que o processo não "exploda" ou "desapareça" de forma incontrolável.

As condições de estacionaridade são:

• Para AR(1), $X_t = \phi_0 + \phi_1 X_{t-1} + \varepsilon_t$: O processo é estacionário se e somente se $|\phi_1| < 1$.
• Para AR(2), $X_t = \phi_0 + \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \varepsilon_t$: O processo é estacionário se e somente se as três condições a seguir forem satisfeitas:
  1. |\phi_2| < 1\
  2. \phi_1 + \phi_2 < 1\
  3. $\phi_2 - \phi_1 < 1$ (ou equivalentemente, $\phi_1 - \phi_2 > -1$)

Analisando as alternativas:

(A) Incorreta: AR(1), $X_t = 1{,}5X_{t-1} + \varepsilon_t$. Aqui, $\phi_1 = 1.5$. Como $|1.5| \not< 1$, o processo não é estacionário.

(B) Incorreta: AR(2), $X_t = -0{,}4X_{t-1} + 0{,}8X_{t-2} + \varepsilon_t$. Aqui, $\phi_1 = -0.4$ e $\phi_2 = 0.8$.

1. $|\phi_2| = |0.8| < 1$ (Verdadeiro)
2. $\phi_1 + \phi_2 = -0.4 + 0.8 = 0.4 < 1$ (Verdadeiro)
3. $\phi_2 - \phi_1 = 0.8 - (-0.4) = 1.2$. Esta condição exige $\phi_2 - \phi_1 < 1$. Como $1.2 \not< 1$, a condição não é satisfeita.
   Armadilha da banca: Esta alternativa é um distrator forte, pois as duas primeiras condições de estacionaridade são satisfeitas, mas a terceira falha, exigindo atenção a todas as regras.

(C) Incorreta: AR(1), $X_t = -1{,}2X_{t-1} + \varepsilon_t$. Aqui, $\phi_1 = -1.2$. Como $|-1.2| \not< 1$, o processo não é estacionário.

(D) Incorreta: AR(2), $X_t = 0{,}5X_{t-1} + 1{,}1X_{t-2} + \varepsilon_t$. Aqui, $\phi_1 = 0.5$ e $\phi_2 = 1.1$.

1. $|\phi_2| = |1.1|$. Como $|1.1| \not< 1$, a primeira condição de estacionaridade não é satisfeita.

(E) Correta: AR(2), $X_t = 0{,}7X_{t-1} + 0{,}2X_{t-2} + \varepsilon_t$. Aqui, $\phi_1 = 0.7$ e $\phi_2 = 0.2$.

1. $|\phi_2| = |0.2| < 1$ (Verdadeiro)
2. $\phi_1 + \phi_2 = 0.7 + 0.2 = 0.9 < 1$ (Verdadeiro)
3. $\phi_2 - \phi_1 = 0.2 - 0.7 = -0.5 < 1$ (Verdadeiro)
   Todas as três condições de estacionaridade para um processo AR(2) são satisfeitas, portanto, este é um processo AR(2) estacionário.