Questão de Estatística · FCC TRT-14 2018 (nº 30)

A variância mede o quão espalhados os dados estão em relação à sua média. O Coeficiente de Variação (CV) é uma medida de dispersão relativa, que expressa o desvio padrão como uma porcentagem da média, útil para comparar a variabilidade de conjuntos de dados com médias diferentes.

Para a população $P_1$:
Temos $N_1 = 100$, $\sum x_i^2 = 2.662.400$ e $CV_1 = 0.20$.
A fórmula da variância populacional é $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \bar{x}^2$.
A fórmula do Coeficiente de Variação é $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$, então $\sigma = CV \cdot \bar{x}$.
Substituindo $\sigma$ na fórmula da variância: $(CV \cdot \bar{x})^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \bar{x}^2$.
$CV^2 \cdot \bar{x}^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \bar{x}^2$.
$0.20^2 \cdot \bar{x}_1^2 = \frac{2.662.400}{100} - \bar{x}_1^2$.
$0.04 \bar{x}_1^2 = 26.624 - \bar{x}_1^2$.
$1.04 \bar{x}_1^2 = 26.624$.
$\bar{x}_1^2 = \frac{26.624}{1.04} = 25.600$.
Como $x_i > 0$, $\bar{x}_1 = \sqrt{25.600} = 160$ u.m.
Agora calculamos a variância de $P_1$: $\sigma_1^2 = 0.04 \bar{x}_1^2 = 0.04 \times 25.600 = 1.024$ (u.m.)$^2$.

Para a população $P_2$:
São excluídos 20 sócios com renda igual à média de $P_1$, ou seja, 160 u.m.
O novo número de indivíduos é $N_2 = 100 - 20 = 80$.
A soma das rendas em $P_1$ era $\sum x_i = N_1 \cdot \bar{x}_1 = 100 \times 160 = 16.000$.
A soma das rendas dos 20 sócios excluídos é $20 \times 160 = 3.200$.
A soma das rendas em $P_2$ é $\sum_{j=1}^{80} x_j = 16.000 - 3.200 = 12.800$.
A média de $P_2$ é $\bar{x}_2 = \frac{12.800}{80} = 160$ u.m. (A média não muda porque os valores removidos eram iguais à média).
A soma dos quadrados das rendas em $P_1$ era $\sum x_i^2 = 2.662.400$.
A soma dos quadrados das rendas dos 20 sócios excluídos é $20 \times (160)^2 = 20 \times 25.600 = 512.000$.
A soma dos quadrados das rendas em $P_2$ é $\sum_{j=1}^{80} x_j^2 = 2.662.400 - 512.000 = 2.150.400$.
Agora calculamos a variância de $P_2$: $\sigma_2^2 = \frac{\sum x_j^2}{N_2} - \bar{x}_2^2 = \frac{2.150.400}{80} - (160)^2$.
$\sigma_2^2 = 26.880 - 25.600 = 1.280$ (u.m.)$^2$.

O módulo da diferença entre as variâncias é $|\sigma_1^2 - \sigma_2^2| = |1.024 - 1.280| = |-256| = 256$ (u.m.)$^2$.

• (A) Incorreta: O valor calculado para a diferença das variâncias não corresponde a 144.
• (B) Incorreta: A armadilha aqui é pensar que, como a média não mudou ao remover sócios com renda igual à média, a variância também não mudaria. No entanto, remover dados, mesmo que sejam a média, afeta a dispersão relativa dos dados restantes, aumentando a variância neste caso.
• (C) Incorreta: O valor calculado para a diferença das variâncias não corresponde a 64.
• (D) Correta: O cálculo detalhado mostra que a diferença em módulo entre as variâncias é de 256 (u.m.)$^2$.
• (E) Incorreta: O valor calculado para a diferença das variâncias não corresponde a 400.