Questão de Estatística · FCC TRT-14 2018 (nº 60)

Um processo MA(1) (Média Móvel de ordem 1) é um modelo de série temporal onde o valor atual ($X_t$) depende de uma constante ($\theta_0$), do erro aleatório atual ($\varepsilon_t$) e do erro aleatório do período anterior ($\varepsilon_{t-1}$). Os erros aleatórios ($\varepsilon_t$) são independentes e identicamente distribuídos, com média zero ($E(\varepsilon_t) = 0$) e variância constante ($var(\varepsilon_t) = \sigma^2$).

(A) Correta: A média é $E(X_t) = E(\theta_0 + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1}) = E(\theta_0) + E(\varepsilon_t) + \theta_1 E(\varepsilon_{t-1}) = \theta_0 + 0 + \theta_1 \cdot 0 = \theta_0$. A variância é $Var(X_t) = Var(\theta_0 + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1})$. Como $\theta_0$ é constante e $\varepsilon_t$, $\varepsilon_{t-1}$ são independentes, $Var(X_t) = Var(\varepsilon_t) + Var(\theta_1 \varepsilon_{t-1}) = Var(\varepsilon_t) + \theta_1^2 Var(\varepsilon_{t-1}) = \sigma^2 + \theta_1^2 \sigma^2 = \sigma^2(1 + \theta_1^2)$.
(B) Incorreta: A média seria 0 apenas se $\theta_0 = 0$. A variância seria $\sigma^2$ apenas se $\theta_1 = 0$.
(C) Incorreta: A média está correta ($\theta_0$), mas a variância está incorreta. A armadilha aqui é esquecer que a variância dos termos de erro é $\sigma^2$, não 1, e que a variância de $\theta_1 \varepsilon_{t-1}$ é $\theta_1^2 \sigma^2$, não apenas $\theta_1^2$.
(D) Incorreta: A média está correta ($\theta_0$), mas a variância está incorreta, pois inclui o termo $\theta_0$ indevidamente na expressão da variância.
(E) Incorreta: Tanto a média quanto a variância estão incorretas. A média é $\theta_0$, não $\theta_1$. A variância não segue a formulação correta.