Questão de Estatística · FCC TRT-14 2018 (nº 58)

O coeficiente de correlação múltipla mede a força da relação linear entre uma variável (chamada variável dependente, aqui $X_1$) e um conjunto de outras variáveis (chamadas preditoras, aqui $X_2$ e $X_3$). Ele indica o quão bem $X_1$ pode ser previsto por uma combinação linear de $X_2$ e $X_3$. Para uma distribuição normal multivariada, o quadrado do coeficiente de correlação múltipla ($R^2$) é dado pela fórmula $R_{1 \cdot 23}^2 = \frac{\Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21}}{\sigma_{11}}$, onde $\sigma_{11}$ é a variância de $X_1$, $\Sigma_{12}$ é o vetor de covariâncias de $X_1$ com $(X_2, X_3)$, $\Sigma_{21}$ é sua transposta, e $\Sigma_{22}^{-1}$ é a inversa da matriz de covariâncias de $(X_2, X_3)$.

Cálculo:

1. Identificamos os componentes da matriz de covariância $\Sigma$:

   • $\sigma_{11} = Var(X_1) = 1$
   • $\Sigma_{12} = \begin{pmatrix} Cov(X_1, X_2) & Cov(X_1, X_3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/5 & -2/5 \end{pmatrix}$
   • $\Sigma_{21} = \begin{pmatrix} 4/5 \ -2/5 \end{pmatrix}$
   • $\Sigma_{22} = \begin{pmatrix} Var(X_2) & Cov(X_2, X_3) \ Cov(X_3, X_2) & Var(X_3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1/2 \ -1/2 & 1 \end{pmatrix}$
   • A inversa $\Sigma_{22}^{-1}$ é fornecida: \begin{pmatrix} 4/3 & 2/3 \ 2/3 & 4/3 \end{pmatrix}\

2. Calculamos o numerador $\Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21}$:

   • Primeiro, $\Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} = \begin{pmatrix} 4/5 & -2/5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4/3 & 2/3 \ 2/3 & 4/3 \end{pmatrix}$
     $= \begin{pmatrix} (4/5)(4/3) + (-2/5)(2/3) & (4/5)(2/3) + (-2/5)(4/3) \end{pmatrix}$
     $= \begin{pmatrix} 16/15 - 4/15 & 8/15 - 8/15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12/15 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/5 & 0 \end{pmatrix}$
   • Agora, multiplicamos pelo vetor $\Sigma_{21}$:
     $\begin{pmatrix} 4/5 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4/5 \ -2/5 \end{pmatrix} = (4/5)(4/5) + (0)(-2/5) = 16/25 + 0 = 16/25$.

3. O quadrado do coeficiente de correlação múltipla é $R_{1 \cdot 23}^2 = \frac{16/25}{1} = 16/25$.

4. O coeficiente de correlação múltipla é a raiz quadrada positiva: $R_{1 \cdot 23} = \sqrt{16/25} = 4/5 = 0.80$.

(A) Incorreta: Este valor corresponde à magnitude do coeficiente de correlação simples entre $X_1$ e $X_3$ ($|Corr(X_1, X_3)| = |-2/5| = 0.40$), e não ao coeficiente de correlação múltipla.
(B) Incorreta: Este valor não corresponde ao resultado do cálculo do coeficiente de correlação múltipla.
(C) Correta: O cálculo detalhado acima demonstra que o coeficiente de correlação múltipla entre $X_1$ e $(X_2, X_3)$ é $0.80$. **Armadilha da banca:** Curiosamente, o coeficiente de correlação simples entre$X_1$e$X_2$($Corr(X_1, X_2) = Cov(X_1, X_2) / (\sqrt{Var(X_1)}\sqrt{Var(X_2)}) = (4/5) / (\sqrt{1}\sqrt{1}) = 4/5 = 0.80) também é \0.80$. Isso ocorre porque, neste caso específico, a variável$X_3$não adiciona poder preditivo a$X_1$além do que$X_2$já oferece (o coeficiente de regressão de$X_3$na predição de$X_1$é zero). Um aluno desatento poderia simplesmente calcular$Corr(X_1, X_2)$ e marcar a alternativa, sem aplicar a fórmula correta para a correlação múltipla, perdendo a compreensão do conceito.
(D) Incorreta: Este valor não corresponde ao resultado do cálculo do coeficiente de correlação múltipla.
(E) Incorreta: Este valor não corresponde ao resultado do cálculo do coeficiente de correlação múltipla.