Questão de Estatística · FCC TRT-14 2018 (nº 33)

O Método dos Momentos é uma técnica de Inferência Estatística que estima os parâmetros de uma distribuição de probabilidade (como $a$ e $b$ para a Uniforme) igualando os momentos amostrais (calculados a partir dos dados) aos momentos teóricos da população (derivados da fórmula da distribuição).

• Momento teórico (populacional) de primeira ordem (média): $E[X] = \frac{a+b}{2}$

• Momento teórico (populacional) de segunda ordem não centrado: $E[X^2] = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$

• Variância teórica (populacional): $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{(b-a)^2}{12}$

• Momento amostral de primeira ordem (média amostral): $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum X_i$

• Momento amostral de segunda ordem não centrado: $M_2' = \frac{1}{n} \sum X_i^2$

• Variância amostral: $S^2 = \frac{1}{n} \sum (X_i - \bar{x})^2$

A relação entre o segundo momento não centrado, a variância e a média é: $M_2' = S^2 + \bar{x}^2$.

Dados do problema:

• Média amostral $\bar{x} = 1,5$.
• "A amplitude do intervalo encontrado foi igual a 6". Esta é a pegadinha. Não se refere à amplitude da amostra ($X_{max} - X_{min}$), mas sim à estimativa do intervalo da população $(\hat{b}-\hat{a})$. Ou seja, o método dos momentos resultou em uma estimativa para $(b-a)$ igual a 6.

Resolução:

1. Precisamos encontrar o segundo momento não centrado da amostra ($M_2'$). Sabemos que $M_2' = S^2 + \bar{x}^2$.
2. Já temos $\bar{x} = 1,5$, então $\bar{x}^2 = (1,5)^2 = 2,25$.
3. Precisamos encontrar $S^2$ (variância amostral). Pelo Método dos Momentos, a variância amostral é igualada à variância teórica da população: $S^2 = Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$.
4. Como a estimativa da amplitude do intervalo $(\hat{b}-\hat{a})$ é 6, substituímos na fórmula da variância: $S^2 = \frac{6^2}{12} = \frac{36}{12} = 3$.
5. Agora, calculamos $M_2'$: $M_2' = S^2 + \bar{x}^2 = 3 + 2,25 = 5,25$.

Atenção à pegadinha: Se você tentasse calcular $\hat{a}$ e $\hat{b}$ usando $\hat{a}+\hat{b} = 2\bar{x} = 3$ e $\hat{b}-\hat{a}=6$, você obteria $\hat{a}=-1,5$ e $\hat{b}=4,5$. Isso violaria a condição $0 < a < b$ dada no problema ($a$ não pode ser negativo). No entanto, a questão não pede as estimativas de $a$ e $b$, mas sim o segundo momento não centrado da amostra, que pode ser calculado diretamente com as informações fornecidas, sem a necessidade de determinar $a$ e $b$ explicitamente. A inconsistência de $a<0$ é um distrator.

• (A) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.
• (B) Incorreta: Este valor (3,00) é a variância amostral ($S^2$), não o segundo momento não centrado da amostra ($M_2'$). É um distrator comum confundir os dois.
• (C) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.
• (D) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.
• (E) Correta: O segundo momento não centrado da amostra é $M_2' = S^2 + \bar{x}^2 = 3 + (1,5)^2 = 3 + 2,25 = 5,25$.