Questão de Estatística · FCC TRT-14 2018 (nº 34)

A Máxima Verossimilhança é um método para estimar parâmetros desconhecidos de uma distribuição de probabilidade, escolhendo os valores dos parâmetros que tornam a probabilidade de observar os dados amostrais (a função de verossimilhança) a maior possível. Geralmente, maximiza-se o logaritmo da função de verossimilhança para simplificar os cálculos.

Passos para a solução:

1. Validação da Função de Densidade de Probabilidade (FDP): Para que $f_X(x)$ seja uma FDP válida, sua integral sobre todo o domínio deve ser igual a 1.
   $\int_0^1 Kx^{k-1} dx = 1$
   $K \left[ \frac{x^k}{k} \right]_0^1 = 1$ (assumindo $k > 0$)
   $K \left( \frac{1^k}{k} - \frac{0^k}{k} \right) = 1$
   $K \frac{1}{k} = 1 \implies K = k$.
   Este é um passo crucial: o parâmetro $K$ que queremos estimar é, na verdade, igual ao parâmetro $k$. Assim, estimaremos $k$ e esse será o valor de $K$. A FDP se torna $f_X(x) = kx^{k-1}$.

2. Função de Verossimilhança: Dada a amostra $(x_1, x_2, x_3, x_4)$, a função de verossimilhança $L(k)$ é o produto das FDPs avaliadas em cada observação:
   $L(k) = \prod_{i=1}^4 f_X(x_i; k) = (kx_1^{k-1})(kx_2^{k-1})(kx_3^{k-1})(kx_4^{k-1})$
   L(k) = k^4 (x_1 x_2 x_3 x_4)^{k-1}\

3. Função de Log-Verossimilhança: Para simplificar a maximização, usamos o logaritmo:
   $\ln L(k) = \ln[k^4 (x_1 x_2 x_3 x_4)^{k-1}]$
   $\ln L(k) = 4 \ln k + (k-1) \ln(x_1 x_2 x_3 x_4)$
   \ln L(k) = 4 \ln k + (k-1) (\ln x_1 + \ln x_2 + \ln x_3 + \ln x_4)\

4. Soma dos logaritmos das observações: Usando os valores fornecidos:
   $\ln(0.50) = -0.69$
   $\ln(0.70) = -0.36$
   $\ln(0.80) = -0.22$
   $\ln(0.72) = -0.33$
   Soma = $-0.69 - 0.36 - 0.22 - 0.33 = -1.60$

   Substituindo na função de log-verossimilhança:
   $\ln L(k) = 4 \ln k + (k-1)(-1.60)$
   \ln L(k) = 4 \ln k - 1.60k + 1.60\

5. Maximização: Derivamos $\ln L(k)$ em relação a $k$ e igualamos a zero para encontrar o estimador de máxima verossimilhança:
   $\frac{d}{dk} \ln L(k) = \frac{4}{k} - 1.60$
   Igualando a zero:
   $\frac{4}{k} - 1.60 = 0 \implies \frac{4}{k} = 1.60 \implies k = \frac{4}{1.60} = \frac{400}{160} = \frac{10}{4} = 2.5$.

6. Conclusão: A estimativa de máxima verossimilhança para $k$ é $2.5$. Como$K=k$, a estimativa para$K também é \2.5$.

(A) Incorreta: O valor 1,60 corresponde à soma dos logaritmos das observações, não à estimativa do parâmetro.
(B) Correta: A estimativa de máxima verossimilhança para $K$ é 2,50, obtida ao primeiro estabelecer a relação $K=k$ pela normalização da FDP e, em seguida, maximizar a função de log-verossimilhança em relação a $k$.
(C) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao resultado da maximização da função de verossimilhança.
(D) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao resultado da maximização da função de verossimilhança.
(E) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao resultado da maximização da função de verossimilhança.