Questão de Estatística · FCC TRT-14 2018 (nº 32)

Um estimador não viesado é aquele que, em média, acerta o valor verdadeiro do parâmetro que está tentando estimar, ou seja, seu valor esperado é igual ao parâmetro. A eficiência de um estimador não viesado é medida pela sua variância: quanto menor a variância, mais "eficiente" ele é, pois suas estimativas tendem a ser mais próximas do valor real.

• Passo 1: Encontrar os valores de m, n e p.
  Para que um estimador $E$ seja não viesado para a média $\mu$, sua esperança $E[E]$ deve ser igual a $\mu$.
  Sabemos que $E[X_i] = \mu$ para $i=1, 2, 3$.
  Para $E_1 = mX_1 + nX_2 - 2pX_3$, $E[E_1] = mE[X_1] + nE[X_2] - 2pE[X_3] = (m+n-2p)\mu$.
  Para ser não viesado, $m+n-2p = 1$.
  A questão nos dá a relação $n=2m=2p$. Isso implica que $n=2m$ e $p=m$.
  Substituindo $n=2m$ e $p=m$ na equação de não viés:
  $m + (2m) - 2(m) = 1$
  $m + 2m - 2m = 1$
  $m = 1$.
  Com $m=1$, temos $n=2(1)=2$ e $p=1$.

• Passo 2: Calcular a variância de cada estimador.
  A variância de uma combinação linear de variáveis aleatórias independentes é $Var(aX_1 + bX_2 + cX_3) = a^2Var(X_1) + b^2Var(X_2) + c^2Var(X_3)$.
  A população tem desvio padrão $\sigma = 0.5$, então a variância é $\sigma^2 = (0.5)^2 = 0.25$.
  Como $(X_1, X_2, X_3)$ é uma amostra aleatória simples, $Var(X_1) = Var(X_2) = Var(X_3) = \sigma^2 = 0.25$.

  • $Var(E_1) = Var(mX_1 + nX_2 - 2pX_3)$
    $= m^2Var(X_1) + n^2Var(X_2) + (-2p)^2Var(X_3)$
    $= (1^2 + 2^2 + (-2 \cdot 1)^2)\sigma^2$
    $= (1 + 4 + 4)\sigma^2 = 9\sigma^2 = 9 \cdot 0.25 = 2.25$.

  • $Var(E_2) = Var(mX_1 + 2nX_2 - 4pX_3)$
    $= m^2Var(X_1) + (2n)^2Var(X_2) + (-4p)^2Var(X_3)$
    $= (1^2 + (2 \cdot 2)^2 + (-4 \cdot 1)^2)\sigma^2$
    $= (1 + 4^2 + (-4)^2)\sigma^2 = (1 + 16 + 16)\sigma^2 = 33\sigma^2 = 33 \cdot 0.25 = 8.25$.

  • $Var(E_3) = Var(2mX_1 + nX_2 - 3pX_3)$
    $= (2m)^2Var(X_1) + n^2Var(X_2) + (-3p)^2Var(X_3)$
    $= ((2 \cdot 1)^2 + 2^2 + (-3 \cdot 1)^2)\sigma^2$
    $= (2^2 + 4 + (-3)^2)\sigma^2 = (4 + 4 + 9)\sigma^2 = 17\sigma^2 = 17 \cdot 0.25 = 4.25$.

• Passo 3: Identificar o estimador mais eficiente.
  O estimador mais eficiente é aquele com a menor variância.
  $Var(E_1) = 2.25$
  $Var(E_2) = 8.25$
  $Var(E_3) = 4.25$
  A menor variância é $2.25$, que corresponde ao estimador$E_1$.

(A) Incorreta: 8,25 é a variância do estimador $E_2$, que não é o mais eficiente.
(B) Correta: 2,25 é a variância do estimador $E_1$, que possui a menor variância entre os três e, portanto, é o mais eficiente.
(C) Incorreta: 3,00 não corresponde à variância de nenhum dos estimadores calculados.
(D) Incorreta: 1,50 não corresponde à variância de nenhum dos estimadores calculados.
(E) Incorreta: 4,25 é a variância do estimador $E_3$, que não é o mais eficiente. A armadilha aqui é que o aluno pode calcular corretamente as variâncias, mas se confundir e não escolher a menor (mais eficiente), ou cometer um erro de cálculo que resulte em um dos outros valores.