Questão de Estatística · FCC TRT-14 2018 (nº 31)

O Teorema de Tchebichev (ou Desigualdade de Chebyshev) é uma ferramenta estatística que nos dá um limite superior para a probabilidade de uma variável aleatória (um número cujo valor é resultado de um fenômeno aleatório) estar a uma certa distância de sua média, mesmo quando não sabemos a forma exata da sua distribuição.

• (A) Correta: O Teorema de Tchebichev afirma que $P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}$, onde $\mu$ é a média, $\sigma$ é o desvio padrão e $k$ é um número positivo. No problema, a média é $m$, e a probabilidade de X não pertencer ao intervalo $(m - \theta, m + \theta)$ significa $P(|X - m| \ge \theta)$. Esta probabilidade é dada como no máximo 16% (ou 0.16). Comparando com a fórmula, temos $\mu = m$, $k\sigma = \theta$ e $\frac{1}{k^2} = 0.16$.
  Primeiro, resolvemos para $k$:
  $\frac{1}{k^2} = 0.16 \implies k^2 = \frac{1}{0.16} \implies k^2 = \frac{100}{16} \implies k^2 = \frac{25}{4}$.
  Portanto, $k = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.
  Agora, substituímos $k$ na relação $k\sigma = \theta$:
  $\frac{5}{2}\sigma = \theta$.
  Para encontrar o desvio padrão $\sigma$ em termos de $\theta$:
  $\sigma = \theta \times \frac{2}{5}$.
• (B) Incorreta: Se o desvio padrão fosse $\theta \times \frac{1}{4}$, então $k$ seria 4, e a probabilidade máxima seria $\frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} = 6.25\%$, o que não corresponde a 16%.
• (C) Incorreta: Se o desvio padrão fosse $\theta \times \frac{2}{3}$, então $k$ seria $\frac{3}{2}$, e a probabilidade máxima seria $\frac{1}{(3/2)^2} = \frac{1}{9/4} = \frac{4}{9} \approx 44.4\%$, o que não corresponde a 16%.
• (D) Incorreta: Se o desvio padrão fosse $\theta \times \frac{4}{9}$, então $k$ seria $\frac{9}{4}$, e a probabilidade máxima seria $\frac{1}{(9/4)^2} = \frac{1}{81/16} = \frac{16}{81} \approx 19.75\%$, o que não corresponde a 16%.
• (E) Incorreta: Se o desvio padrão fosse $\theta \times \frac{1}{2}$, então $k$ seria 2, e a probabilidade máxima seria $\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 25\%$, o que não corresponde a 16%. Armadilha da banca: Esta alternativa é um distrator comum, pois 25% (ou 1/4) é um valor de probabilidade frequente em muitos problemas e pode levar o aluno a um erro de cálculo ou a confundir o valor dado de 16% com 25%.