Questão de Estatística · FCC TRT-14 2018 (nº 28)

A frequência relativa indica a proporção de vezes que um valor ou intervalo de valores aparece em um conjunto de dados, e a soma de todas as frequências relativas deve ser 1 (ou 100%). A mediana (Md) é o valor que divide o conjunto de dados em duas metades, e para dados agrupados em classes, é calculada por interpolação linear. A média aritmética (Me) para dados agrupados é calculada somando o produto do ponto médio de cada classe pela sua frequência relativa.

Primeiro, vamos encontrar os valores de $x$ e $y$.

1. Soma das frequências relativas: A soma de todas as frequências relativas deve ser 1.
   $0.10 + x + y + 0.25 + 0.15 = 1 \0.50 + x + y = 1$$x + y = 0.50$ (Equação 1)

2. Cálculo de $x$ usando a mediana (Md): A mediana é R$ 3.900,00.
   A classe da mediana é [3000, 4000), pois a frequência acumulada da primeira classe é 0.10, e 0.50 (50% da distribuição) deve cair na segunda classe.
   A fórmula da mediana para dados agrupados é:
   $Md = L_{inf} + \left( \frac{0.50 - F_{ant}}{f_{Md}} \right) \times h$
   Onde:

   • $L_{inf} = 3000$ (limite inferior da classe da mediana)
   • $F_{ant} = 0.10$ (frequência relativa acumulada da classe anterior à mediana)
   • $f_{Md} = x$ (frequência relativa da classe da mediana)
   • $h = 4000 - 3000 = 1000$ (amplitude da classe)
     Substituindo os valores:
     $3900 = 3000 + \left( \frac{0.50 - 0.10}{x} \right) \times 1000$
     $900 = \left( \frac{0.40}{x} \right) \times 1000$
     $900 = \frac{400}{x}$
     $900x = 400$$x = \frac{400}{900} = \frac{4}{9}$

3. Cálculo de $y$: Usando a Equação 1:
   $y = 0.50 - x = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{9-8}{18} = \frac{1}{18}$

Agora, vamos calcular a média aritmética (Me).
4. Pontos médios das classes ($P_m$):
* [2000, 3000): $P_m = (2000+3000)/2 = 2500$
* [3000, 4000): $P_m = (3000+4000)/2 = 3500$
* [4000, 5000): $P_m = (4000+5000)/2 = 4500$
* [5000, 6000): $P_m = (5000+6000)/2 = 5500$
* [6000, 7000): P_m = (6000+7000)/2 = 6500\

5. Cálculo da Média (Me):
   $Me = \sum (P_m \times f_{rel})$
   $Me = (2500 \times 0.10) + (3500 \times \frac{4}{9}) + (4500 \times \frac{1}{18}) + (5500 \times 0.25) + (6500 \times 0.15)$
   $Me = 250 + \frac{14000}{9} + \frac{4500}{18} + 1375 + 975$
   $Me = 250 + \frac{14000}{9} + 250 + 1375 + 975$
   $Me = 2850 + \frac{14000}{9}$
   $Me = \frac{2850 \times 9 + 14000}{9} = \frac{25650 + 14000}{9} = \frac{39650}{9}$
   $Me \approx 4405.56$

Finalmente, vamos avaliar a expressão (3Md - 2Me).
6. Cálculo de (3Md - 2Me):
$3Md - 2Me = 3 \times 3900 - 2 \times \frac{39650}{9}$
$= 11700 - \frac{79300}{9}$
$= \frac{11700 \times 9 - 79300}{9}$
$= \frac{105300 - 79300}{9}$
$= \frac{26000}{9} \approx 2888.89$

O valor calculado de (3Md - 2Me) é aproximadamente R$ 2.888,89. Este valor não corresponde a nenhuma das alternativas fornecidas. No entanto, seguindo a instrução de que o gabarito oficial manda, analisaremos a alternativa E.

(A) Incorreta: O valor calculado é aproximadamente R$ 2.888,89, não R$ 3.600,00.
(B) Incorreta: O valor calculado é aproximadamente R$ 2.888,89, não R$ 3.500,00.
(C) Incorreta: O valor calculado é aproximadamente R$ 2.888,89, não R$ 3.200,00.
(D) Incorreta: O valor calculado é aproximadamente R$ 2.888,89, não R$ 4.000,00.
(E) Correta: Para que a expressão (3Md - 2Me) seja igual a R$ 3.700,00, e sabendo que Md = R$ 3.900,00, a média aritmética (Me) teria que ser:
$3 \times 3900 - 2Me = 3700$
$11700 - 2Me = 3700 \2Me = 11700 - 3700 \2Me = 8000$$Me = 4000$No entanto, como demonstrado nos cálculos acima, a média aritmética (Me) derivada das frequências$x=4/9$e$y=1/18$(que são, por sua vez, derivadas da mediana de 3900 e da soma das frequências) é$\frac{39650}{9} \approx 4405.56$, e não 4000. Para que a média fosse 4000, as frequências$x$e$y$teriam que ser$x=0.85$e$y=-0.35 (derivado de \14 = 35x + 45y$ e $x+y=0.50$), o que é impossível, pois frequências não podem ser negativas. A armadilha da banca aqui é que o problema, conforme enunciado e com o gabarito oficial, apresenta uma inconsistência matemática: o valor da mediana fornecido (3900) leva a um valor da média que não resulta na alternativa correta. Para chegar ao gabarito, seria necessário que a média fosse 4000, mas essa média não é compatível com a mediana dada e com a natureza das frequências.