Questão de Estatística · FCC TRT-14 2018 (nº 53)

O Teorema Central do Limite (TCL) afirma que, para amostras grandes o suficiente, a distribuição das médias amostrais (a média de várias amostras) será aproximadamente normal, mesmo que a população original não seja normal. Isso nos permite usar as propriedades da distribuição normal para calcular probabilidades sobre a média da amostra.

• (A) Incorreta: Esta alternativa resultaria de um erro no cálculo do Z-score ou na interpretação da tabela, não correspondendo aos valores corretos.
• (B) Incorreta: Esta alternativa resultaria de um erro no cálculo do Z-score ou na interpretação da tabela, não correspondendo aos valores corretos.
• (C) Correta: Primeiro, identificamos os parâmetros da distribuição de Poisson: média ($\mu$) = 64 e desvio padrão ($\sigma$) = $\sqrt{64} = 8$. Pelo Teorema Central do Limite, a distribuição da média amostral ($\bar{X}$) terá média $\mu_{\bar{X}} = \mu = 64$ e erro padrão $\sigma_{\bar{X}} = \sigma / \sqrt{n} = 8 / \sqrt{81} = 8/9$. Para calcular a probabilidade de a média amostral ser superior a 66, padronizamos o valor usando o escore Z: $Z = (\bar{X} - \mu_{\bar{X}}) / \sigma_{\bar{X}} = (66 - 64) / (8/9) = 2 / (8/9) = 18/8 = 2.25$. Consultando a tabela Z, a área entre 0 e 2.25 é 0.4878. A probabilidade de Z ser maior que 2.25 é $0.5 - 0.4878 = 0.0122$. Convertendo para porcentagem, temos 1.22%, que arredondado é 1.2%.
• (D) Incorreta: Esta é uma armadilha comum. Se o cálculo do erro padrão fosse feito incorretamente usando o valor da média (64) como o tamanho da amostra ($n$) em vez do tamanho real da amostra (81), teríamos $\sigma_{\bar{X}} = 8 / \sqrt{64} = 8/8 = 1$. Isso levaria a um Z-score de $Z = (66 - 64) / 1 = 2$. Consultando a tabela, a área entre 0 e 2.00 é 0.4772. A probabilidade de Z ser maior que 2.00 seria $0.5 - 0.4772 = 0.0228$, ou 2.28%, que arredonda para 2.3%. O erro aqui é confundir a média da população com o tamanho da amostra.
• (E) Incorreta: Esta alternativa resultaria de um erro no cálculo do Z-score ou na interpretação da tabela, não correspondendo aos valores corretos.