Questão de Estatística · FCC TRT-14 2018 (nº 52)

A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos que ocorrem continuamente e independentemente a uma taxa constante. Para calcular a probabilidade de uma variável aleatória exponencial ser maior ou igual a um múltiplo de outra, integramos a função de densidade de probabilidade conjunta sobre a região definida pela desigualdade.

(A) Correta: A probabilidade $P(X \ge 2Y)$ para variáveis exponenciais independentes com o mesmo parâmetro $\lambda$ é calculada pela integral dupla $\int_0^\infty \int_{2y}^\infty \lambda^2 e^{-\lambda(x+y)} dx dy$. A integral interna $\int_{2y}^\infty \lambda e^{-\lambda x} dx = e^{-2\lambda y}$. A integral externa se torna $\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda y} e^{-2\lambda y} dy = \int_0^\infty \lambda e^{-3\lambda y} dy = \frac{1}{3}$.
(B) Incorreta: Esta seria a resposta para $P(X \ge Y)$, onde o fator de 2 não estaria presente na desigualdade, resultando em $\int_0^\infty \lambda e^{-2\lambda y} dy = 1/2$.
(C) Incorreta: Esta é a probabilidade de $P(X < 2Y)$ ou $P(2Y > X)$, que é $1 - P(X \ge 2Y) = 1 - 1/3 = 2/3$. É um distrator comum para quem inverte a condição da desigualdade.
(D) Incorreta: Um erro de cálculo, talvez confundindo o fator $k$ na fórmula $P(X \ge kY) = 1/(k+1)$, onde $k=2$, resultando em $1/(2+1) = 1/3$.
(E) Incorreta: Não há um erro comum que leve a este valor para este tipo de problema.