Questão de Estatística · FCC TRT-14 2018 (nº 50)

A Função Geradora de Momentos (FGM) de uma variável aleatória é uma ferramenta que, através de suas derivadas avaliadas em $t=0$, permite calcular os momentos da distribuição, como a média (primeiro momento) e a variância (que é o segundo momento central, calculado a partir do primeiro e segundo momentos brutos).

A FGM dada é $M_X(t) = \dfrac{1}{6}(e^t + e^{2t} + e^{3t} + e^{4t} + e^{5t} + e^{6t})$.

Para encontrar a média ($E[X]$), calculamos a primeira derivada da FGM e avaliamos em $t=0$:
$M_X'(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{6}(e^t + e^{2t} + e^{3t} + e^{4t} + e^{5t} + e^{6t}) \right]$
$M_X'(t) = \dfrac{1}{6}(e^t + 2e^{2t} + 3e^{3t} + 4e^{4t} + 5e^{5t} + 6e^{6t})$
$E[X] = M_X'(0) = \dfrac{1}{6}(e^0 + 2e^0 + 3e^0 + 4e^0 + 5e^0 + 6e^0)$
$E[X] = \dfrac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \dfrac{1}{6}(21) = \dfrac{7}{2}$.

Para encontrar a variância ($Var(X)$), precisamos do segundo momento ($E[X^2]$), que é a segunda derivada da FGM avaliada em $t=0$. A variância é então calculada por $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$.
$M_X''(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{6}(e^t + 2e^{2t} + 3e^{3t} + 4e^{4t} + 5e^{5t} + 6e^{6t}) \right]$
$M_X''(t) = \dfrac{1}{6}(e^t + 2^2 e^{2t} + 3^2 e^{3t} + 4^2 e^{4t} + 5^2 e^{5t} + 6^2 e^{6t})$
$M_X''(t) = \dfrac{1}{6}(e^t + 4e^{2t} + 9e^{3t} + 16e^{4t} + 25e^{5t} + 36e^{6t})$
$E[X^2] = M_X''(0) = \dfrac{1}{6}(e^0 + 4e^0 + 9e^0 + 16e^0 + 25e^0 + 36e^0)$
$E[X^2] = \dfrac{1}{6}(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = \dfrac{1}{6}(91) = \dfrac{91}{6}$.

Agora, calculamos a variância:
$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \dfrac{91}{6} - \left(\dfrac{7}{2}\right)^2$
$Var(X) = \dfrac{91}{6} - \dfrac{49}{4}$
Para subtrair as frações, encontramos um denominador comum, que é 12:
$Var(X) = \dfrac{91 \times 2}{12} - \dfrac{49 \times 3}{12} = \dfrac{182}{12} - \dfrac{147}{12}$
$Var(X) = \dfrac{182 - 147}{12} = \dfrac{35}{12}$.

Portanto, a média é $7/2 e a variância é \35/12$.

(A) Incorreta: Os valores calculados para média e variância não correspondem a $2/3 e \70/13. **(B) Incorreta:** A média está correta (\7/2), mas a variância \7/12 está incorreta. Esta é a alternativa mais tentadora, pois um cálculo parcial correto (a média) pode levar o aluno a acreditar que está no caminho certo, mas um erro na etapa final da variância (como um erro aritmético na subtração de frações ou ao elevar a média ao quadrado) resultaria em um valor diferente. **(C) Correta:** Os valores calculados da média (\7/2) e da variância (\35/12) correspondem exatamente aos resultados obtidos através das derivadas da Função Geradora de Momentos. **(D) Incorreta:** Os valores calculados para média e variância não correspondem a \1 e \7/2. **(E) Incorreta:** Os valores calculados para média e variância não correspondem a \0 e \9/6$.