Questão de Estatística · FCC TRT-14 2018 (nº 47)

A distribuição exponencial descreve o tempo entre eventos em um processo de Poisson (eventos que ocorrem com uma taxa média constante). Sua característica mais importante é a propriedade da falta de memória (ou "memória nula"), que significa que a probabilidade de um evento ocorrer no futuro não depende de quanto tempo já se passou sem que ele tenha ocorrido. Em outras palavras, o "passado" não afeta o "futuro" para essa distribuição.

• Parâmetros: O tempo médio ($\mu$) é dado como 8 meses. Para a distribuição exponencial, a taxa ($\lambda$) é o inverso do tempo médio, então $\lambda = 1/\mu = 1/8$ por mês.
• Propriedade da falta de memória: $P(X > t+s \mid X > t) = P(X > s)$.
  • No problema, $t = 9$ meses (o tempo que já se passou).
  • Queremos saber a probabilidade de a tramitação exceder 10 meses, dado que já excedeu 9 meses. Isso significa que o tempo adicional que o recurso precisa para ser concluído é $s = 10 - 9 = 1$ mês.
  • Portanto, $P(X > 10 \mid X > 9) = P(X > 1)$.
• Cálculo da probabilidade: A função de sobrevivência para a distribuição exponencial é $P(X > x) = e^{-\lambda x}$.
  • Assim, $P(X > 1) = e^{-(1/8) \times 1} = e^{-1/8}$.

• (A) Incorreta: Esta alternativa seria $P(X > 1)$ se a taxa $\lambda$ fosse 1, ou $P(X > 8)$ se a taxa fosse $1/8$. Não corresponde ao cálculo correto.
• (B) Incorreta: Esta é a probabilidade de que a tramitação exceda 9 meses ($P(X > 9) = e^{-(1/8) \times 9} = e^{-9/8}$). É um distrator para quem não aplica a propriedade condicional corretamente.
• (C) Incorreta: Esta é a probabilidade de que a tramitação exceda 10 meses ($P(X > 10) = e^{-(1/8) \times 10} = e^{-10/8} = e^{-5/4}$). É um distrator para quem ignora a condição de que o recurso já completou 9 meses.
• (D) Incorreta: Esta alternativa não pode ser obtida por um cálculo direto e correto da probabilidade condicional com os parâmetros dados.
• (E) Correta: A probabilidade de que a tramitação exceda 10 meses, dado que já completou 9 meses, é $P(X > 10 \mid X > 9)$. Devido à propriedade da falta de memória da distribuição exponencial, isso é equivalente a $P(X > (10-9)) = P(X > 1)$. Usando a fórmula $P(X > x) = e^{-\lambda x}$, com $\lambda = 1/8$ e $x=1$, obtemos $e^{-(1/8) \times 1} = e^{-1/8}$.