Questão de Estatística · FCC TRT-14 2018 (nº 46)

"Estatísticas de ordem" são os valores de uma amostra de dados que foram organizados em ordem crescente. Por exemplo, se você tem 10 indenizações, a "segunda maior indenização" é a 9ª indenização quando você as organiza da menor para a maior ($X_{(9)}$). Para encontrar o valor esperado de uma estatística de ordem, usamos uma fórmula específica que leva em conta a distribuição original dos dados.

• (A) Incorreta: Não corresponde ao valor esperado da segunda maior indenização.
• (B) Correta: O valor esperado da segunda maior indenização corresponde à 9ª estatística de ordem ($X_{(9)}$) em uma amostra de $n=10$ observações. Primeiro, calculamos a Função de Distribuição Acumulada (CDF) $F(x) = \int_0^x 3t^2 dt = x^3$ para $0 < x < 1$. A Função Densidade de Probabilidade (PDF) da$k$-ésima estatística de ordem é$f_{X_{(k)}}(x) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} [F(x)]^{k-1} [1-F(x)]^{n-k} f(x)$. Para a segunda maior ($k=9, n=10$), temos$f_{X_{(9)}}(x) = \frac{10!}{8!1!} [x^3]^8 [1-x^3]^1 (3x^2) = 90 \cdot x^{24} \cdot (1-x^3) \cdot 3x^2 = 270(x^{26}-x^{29})$. O valor esperado é$E[X_{(9)}] = \int_0^1 x \cdot f_{X_{(9)}}(x) dx = \int_0^1 270(x^{27}-x^{30}) dx = 270 \left[ \frac{x^{28}}{28} - \frac{x^{31}}{31} \right]_0^1 = 270 \left( \frac{1}{28} - \frac{1}{31} \right) = 270 \left( \frac{3}{868} \right) = \frac{810}{868} \approx 0.9331797. Multiplicando por R\ 100 mil, obtemos $0.9331797 \times 100.000 = 93.317,97$, que, desprezando os centavos, resulta em R$ 93.317,00.
• (C) Incorreta: Não corresponde ao valor esperado da segunda maior indenização. Este valor é um distrator que pode surgir de um erro de cálculo ou de uma confusão com a maior indenização ($X_{(10)}$), cujo valor esperado é aproximadamente R$ 96.774,00.
• (D) Incorreta: Não corresponde ao valor esperado da segunda maior indenização. Este valor é um distrator que pode surgir de um erro de cálculo ou de uma confusão com a terceira maior indenização ($X_{(8)}$), cujo valor esperado é aproximadamente R$ 89.585,00.
• (E) Incorreta: Não corresponde ao valor esperado da segunda maior indenização. A armadilha da banca aqui é que este valor pode ser confundido com o valor esperado da própria distribuição original, $E[X] = \int_0^1 x \cdot 3x^2 dx = 0.75$, que resultaria em R$ 75.000,00. Embora não seja idêntico, a proximidade pode induzir o erro de não aplicar corretamente o conceito de estatísticas de ordem.