Questão de Estatística · FCC TRT-14 2018 (nº 45)

Para uma variável aleatória contínua (que pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo, como dinheiro ou tempo), a probabilidade de um evento ocorrer em um certo intervalo é calculada integrando sua função densidade de probabilidade (f.d.p.) nesse intervalo. A f.d.p. ($f(x)$) nos diz a probabilidade relativa de a variável aleatória estar próxima de um valor específico.

Para calcular a probabilidade de um sinistro exceder R$ 1,5 milhões, precisamos calcular $P(X > 1.5)$. Isso é feito integrando a f.d.p. de 1.5 até o infinito:
$P(X > 1.5) = \int_{1.5}^{\infty} \frac{2}{(1+x)^3} dx$

Primeiro, resolvemos a integral indefinida:
$\int \frac{2}{(1+x)^3} dx = 2 \int (1+x)^{-3} dx$
Usando a regra da potência $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$, com $u = 1+x$ e $du = dx$:
$2 \frac{(1+x)^{-2}}{-2} = -(1+x)^{-2} = -\frac{1}{(1+x)^2}$

Agora, aplicamos os limites de integração:
$P(X > 1.5) = \left[ -\frac{1}{(1+x)^2} \right]_{1.5}^{\infty}$
$= \lim\limits_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{(1+b)^2} \right) - \left( -\frac{1}{(1+1.5)^2} \right)$
$= 0 - \left( -\frac{1}{(2.5)^2} \right)$
$= \frac{1}{(2.5)^2} = \frac{1}{6.25}$
$= 0.16$

(A) Incorreta: Resultado de erro de cálculo na integração ou na avaliação dos limites.
(B) Incorreta: Resultado de erro de cálculo na integração ou na avaliação dos limites.
(C) Incorreta: Esta alternativa representa a probabilidade de o sinistro ser menor ou igual a R$ 1,5 milhões ($P(X \le 1.5)$), que é o complemento da probabilidade pedida ($1 - P(X > 1.5) = 1 - 0.16 = 0.84). A armadilha da banca aqui é calcular a probabilidade do evento oposto ao que foi solicitado. **(D) Correta:** A probabilidade de um sinistro exceder R\ 1,5 milhões é 0,16, conforme cálculo da integral da função densidade de probabilidade.
(E) Incorreta: Resultado de erro de cálculo na integração ou na avaliação dos limites, possivelmente ao tentar calcular o complemento com algum erro.