Questão de Estatística · FCC TRT-14 2018 (nº 36)

Para estimar a média de uma população quando a variância é desconhecida e a amostra é pequena (geralmente $n < 30$), usamos a distribuição t de Student para construir um intervalo de confiança. Esse intervalo nos dá uma faixa de valores onde a verdadeira média populacional provavelmente se encontra, com um certo nível de confiança.

Cálculos:

1. Média amostral ($\bar{x}$): Já fornecida como 5.
2. Tamanho da amostra ($n$): 9.
3. Graus de liberdade ($df$): $n - 1 = 9 - 1 = 8$.
4. Desvio padrão amostral ($s$): Primeiro, calculamos a variância amostral ($s^2$).
   A fórmula é $s^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}$.
   $s^2 = \frac{243 - 9 \times (5)^2}{9-1} = \frac{243 - 9 \times 25}{8} = \frac{243 - 225}{8} = \frac{18}{8} = 2.25$.
   Então, $s = \sqrt{2.25} = 1.5$.
5. Erro padrão da média ($SE$): $SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1.5}{\sqrt{9}} = \frac{1.5}{3} = 0.5$.
6. Valor crítico t: Para um nível de confiança de 95%, $\alpha = 0.05$. Precisamos de $t_{\alpha/2, df}$, ou seja, $t_{0.025, 8}$. Consultando uma tabela t de Student, encontramos $t_{0.025, 8} \approx 2.306$. Para que o resultado se ajuste perfeitamente à alternativa, a banca pode ter usado $t \approx 2.31$.
7. Margem de erro ($ME$): $ME = t_{\alpha/2, df} \times SE = 2.31 \times 0.5 = 1.155$.
8. Intervalo de Confiança ($IC$): $IC = \bar{x} \pm ME = 5 \pm 1.155$.
   Limite inferior: $5 - 1.155 = 3.845. Limite superior: \5 + 1.155 = 6.155$. O intervalo é$[3.845; 6.155]$.

Alternativas:

• (A) Incorreta: Este intervalo não corresponde aos cálculos corretos.
• (B) Incorreta: Este é um distrator tentador. Seria obtido se o valor crítico t fosse $t_{0.05, 8} = 1.860$ (usando $\alpha$ em vez de $\alpha/2$, o que corresponderia a um intervalo de confiança de 90% ou um teste unilateral de 95%). Nesse caso, $ME = 1.860 \times 0.5 = 0.93$, resultando em $[5 - 0.93; 5 + 0.93] = [4.070; 5.930]$.
• (C) Incorreta: Este intervalo não corresponde aos cálculos corretos.
• (D) Correta: O intervalo de confiança de 95% para a média populacional é $[3.845; 6.155]$, calculado corretamente usando a média amostral, o desvio padrão amostral, o erro padrão e o valor crítico $t_{0.025, 8} \approx 2.31$.
• (E) Incorreta: Este é outro distrator tentador. Seria obtido se os graus de liberdade fossem considerados $n=9$ em vez de $n-1=8$. Nesse caso, $t_{0.025, 9} = 2.262$. A margem de erro seria $ME = 2.262 \times 0.5 = 1.131$, resultando em $[5 - 1.131; 5 + 1.131] = [3.869; 6.131]$, que arredondado seria $[3.870; 6.130]$.