Questão de Estatística · FCC TRT-14 2018 (nº 37)

A potência de um teste é a probabilidade de que o teste detecte corretamente um efeito quando ele realmente existe. Em outras palavras, é a chance de rejeitar a hipótese nula ($H_0$) quando a hipótese alternativa ($H_1$) é verdadeira, mostrando que o processo está de fato com defeito quando ele realmente está.

Para calcular a potência, precisamos:

1. Identificar a distribuição: O número de componentes com defeito em uma amostra de 4 segue uma distribuição binomial $B(n=4, p)$.
2. Definir a regra de decisão (região de rejeição): Rejeitar $H_0$ se mais que 1 componente apresentar defeito, ou seja, se $X > 1$ (onde $X$ é o número de defeitos), o que significa $X \in \{2, 3, 4\}$.
3. Calcular a probabilidade de rejeitar $H_0$ sob a hipótese alternativa, que é $p = 0,2$ neste caso.

A potência é $P(X > 1 \mid p = 0,2) = P(X=2 \mid p=0,2) + P(X=3 \mid p=0,2) + P(X=4 \mid p=0,2)$.
Usando a fórmula da distribuição binomial $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$:

• $P(X=2 \mid p=0,2) = \binom{4}{2} (0,2)^2 (0,8)^2 = 6 \cdot 0,04 \cdot 0,64 = 0,1536$
• $P(X=3 \mid p=0,2) = \binom{4}{3} (0,2)^3 (0,8)^1 = 4 \cdot 0,008 \cdot 0,8 = 0,0256$
• $P(X=4 \mid p=0,2) = \binom{4}{4} (0,2)^4 (0,8)^0 = 1 \cdot 0,0016 \cdot 1 = 0,0016$

Somando essas probabilidades: $0,1536 + 0,0256 + 0,0016 = 0,1808$. Em porcentagem,$0,1808 \times 100% = 18,08%$.

(A) Correta: O cálculo da potência do teste, que é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a verdadeira probabilidade de defeito é 20%, resulta em 18,08%.
(B) Incorreta: Esta alternativa representa o nível de significância ($\alpha$) do teste, que é a probabilidade de rejeitar $H_0$ quando $H_0$ é verdadeira ($p=0,1$). O $\alpha = P(X > 1 \mid p=0,1) = 1 - [P(X=0 \mid p=0,1) + P(X=1 \mid p=0,1)] = 1 - [\binom{4}{0}(0,1)^0(0,9)^4 + \binom{4}{1}(0,1)^1(0,9)^3] = 1 - [0,6561 + 0,2916] = 1 - 0,9477 = 0,0523$ ou 5,23%. A armadilha da banca é confundir a potência com o nível de significância.
(C) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao cálculo correto da potência do teste nem a qualquer outra medida padrão neste contexto.
(D) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao cálculo correto da potência do teste.
(E) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao cálculo correto da potência do teste.