Questão de Estatística · FCC TRT-14 2018 (nº 35)

Um intervalo de confiança é uma faixa de valores que, com uma certa probabilidade (o nível de confiança), contém o verdadeiro valor de um parâmetro populacional, como a média. Ele é construído a partir de dados de uma amostra.

Para a População $P_1$:

1. A variância populacional é $\sigma_1^2 = 144$, então o desvio padrão é $\sigma_1 = \sqrt{144} = 12$.
2. O tamanho da amostra é $n_1 = 36$, então $\sqrt{n_1} = 6$.
3. O intervalo de confiança é $[25,3; 34,7]$. A média amostral $\bar{x}_1$ é o ponto médio do intervalo: $\bar{x}_1 = (25,3 + 34,7) / 2 = 30$.
4. A margem de erro (ME) é a metade da largura do intervalo, ou a diferença entre o limite superior e a média: $ME_1 = 34,7 - 30 = 4,7$.
5. A fórmula da margem de erro para a média com variância conhecida é $ME = Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, onde $Z_{\alpha/2}$ é o valor crítico da distribuição normal padrão para o nível de confiança $(1-\alpha)$.
6. Usando os dados de $P_1$: $4,7 = Z_{\alpha/2} \frac{12}{6} \implies 4,7 = Z_{\alpha/2} \times 2 \implies Z_{\alpha/2} = 4,7 / 2 = 2,35$. Este valor de $Z_{\alpha/2}$ é o mesmo para $P_2$, pois o nível de confiança é o mesmo.

Para a População $P_2$:

1. O tamanho da amostra é $n_2 = 64$, então $\sqrt{n_2} = 8$.
2. O intervalo de confiança é $[91,54; 108,46]$. A média amostral $\bar{x}_2$ é o ponto médio: $\bar{x}_2 = (91,54 + 108,46) / 2 = 100$.
3. A margem de erro $ME_2 = 108,46 - 100 = 8,46$.
4. Agora, usamos a fórmula da margem de erro para $P_2$ para encontrar $\sigma_2$: $ME_2 = Z_{\alpha/2} \frac{\sigma_2}{\sqrt{n_2}}$.
5. Substituindo os valores: $8,46 = 2,35 \frac{\sigma_2}{8}$.
6. Resolvendo para $\sigma_2$: $\sigma_2 = \frac{8,46 \times 8}{2,35} = \frac{67,68}{2,35} = 28,8$.

(A) Correta: O desvio padrão de $P_2$ é 28,80, conforme calculado usando a margem de erro e o valor crítico $Z_{\alpha/2}$ derivado da população $P_1$.
(B) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo correto do desvio padrão de $P_2$.
(C) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo correto do desvio padrão de $P_2$.
(D) Incorreta: Este valor seria obtido se, ao calcular a margem de erro, o aluno esquecesse de tirar a raiz quadrada do tamanho da amostra (usando $n$ em vez de $\sqrt{n}$ no denominador da fórmula do erro padrão).
(E) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo correto do desvio padrão de $P_2$; 144 é a variância de $P_1$, e 14,40 pode ser uma tentativa de relacionar os valores de forma incorreta.