Questão nº 69

Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 69)

FCC2017Analista Judiciário – Área Apoio Especializado – Especialidade: EstatísticaEstatística

Atenção: Para responder as questões de números 68 e 69, considere que o gerente de uma empresa comercial adotou o modelo linear simples $V_i = \alpha + \beta g_i + \varepsilon_i$ para analisar a relação entre o volume de vendas anual (V), em unidades monetárias (u.m.), em função do gasto anual com promoções de vendas (g), também em u.m. Os parâmetros α e β são desconhecidos, i corresponde à i-ésima observação anual e $\varepsilon_i$ é o erro aleatório com as respectivas hipóteses para a regressão linear simples. Com base em 10 pares de observações anuais $(g_i, V_i)$ , i = 1, 2, 3, ... , 10, e com a utilização do método dos mínimos quadrados foram encontradas as estimativas de α e β.

Dados: $\displaystyle\sum_{i=1}^{10} g_i = 50$ , $\displaystyle\sum_{i=1}^{10} V_i = 1.500$ , $\displaystyle\sum_{i=1}^{10} g_i^2 = 314$ , $\displaystyle\sum_{i=1}^{10} V_i^2 = 242.600$ e $\displaystyle\sum_{i=1}^{10} g_i V_i = 8.460$

Para testar a existência da regressão, ao nível de significância α, optou-se pelo teste t de Student, com a formulação das hipóteses: $H_0: \beta = 0$ (hipótese nula) contra $H_1: \beta \neq 0$ (hipótese alternativa). A estatística $t_c$ (t calculado), utilizada para a conclusão do teste, apresentou então um valor igual a

Este texto de apoio vale também pra questão nº 68.

A24,0
B6,0 (alternativa correta)
C12,0
D2,4
E48,0

Resposta comentada

Gabarito Alternativa B

O teste t para o coeficiente de regressão $\beta$ verifica se a variável independente (gasto com promoções) tem uma relação linear estatisticamente significativa com a variável dependente (volume de vendas). Em outras palavras, ele nos diz se a inclinação da linha de regressão é diferente de zero, indicando que o gasto com promoções realmente afeta as vendas.

Para calcular a estatística $t_c$ , usamos a fórmula $t_c = \frac{\hat{\beta}}{SE(\hat{\beta})}$ , onde $\hat{\beta}$ é o coeficiente angular estimado e $SE(\hat{\beta})$ é seu erro padrão.

Vamos calcular os componentes:

Número de observações (n): $n=10$ .
Médias:
$\bar{g} = \frac{\sum g_i}{n} = \frac{50}{10} = 5$
$\bar{V} = \frac{\sum V_i}{n} = \frac{1500}{10} = 150\$
Somas de Quadrados e Produtos:
$S_{gg} = \sum (g_i - \bar{g})^2 = \sum g_i^2 - n\bar{g}^2 = 314 - 10 \times (5)^2 = 314 - 250 = 64$
$S_{gV} = \sum (g_i - \bar{g})(V_i - \bar{V}) = \sum g_i V_i - n\bar{g}\bar{V} = 8460 - 10 \times 5 \times 150 = 8460 - 7500 = 960$
$S_{VV} = \sum (V_i - \bar{V})^2 = \sum V_i^2 - n\bar{V}^2 = 242600 - 10 \times (150)^2 = 242600 - 225000 = 17600\$
Estimador de $\beta$ ( $\hat{\beta}$ ):
$\hat{\beta} = \frac{S_{gV}}{S_{gg}} = \frac{960}{64} = 15\$
Soma dos Quadrados dos Resíduos (SQE):
$SQE = S_{VV} - \hat{\beta} S_{gV} = 17600 - 15 \times 960 = 17600 - 14400 = 3200\$
Estimador da Variância do Erro ( $s^2$ ou $MSE$ ):
$s^2 = \frac{SQE}{n-2} = \frac{3200}{10-2} = \frac{3200}{8} = 400\$
Erro Padrão de $\hat{\beta}$ ( $SE(\hat{\beta})$ ):
$SE(\hat{\beta}) = \sqrt{\frac{s^2}{S_{gg}}} = \sqrt{\frac{400}{64}} = \sqrt{\frac{100}{16}} = \frac{10}{4} = 2.5\$
Estatística t ( $t_c$ ):
$t_c = \frac{\hat{\beta}}{SE(\hat{\beta})} = \frac{15}{2.5} = 6$

(A) Incorreta: Este valor seria obtido se o erro padrão de $\hat{\beta}$ fosse calculado incorretamente, por exemplo, usando $S_{gV}$ no denominador em vez de $S_{gg}$ na fórmula do $SE(\hat{\beta})$ , o que levaria a $SE(\hat{\beta}) = \sqrt{400/960} \approx 0.645$ e $t_c = 15/0.645 \approx 23.25$ , arredondado para 24.0.
(B) Correta: O valor calculado $t_c = 6.0$ é o resultado correto da aplicação das fórmulas da regressão linear simples para o teste t do coeficiente $\beta$ .
(C) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhum erro de cálculo comum ou fórmula alternativa.
(D) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhum erro de cálculo comum ou fórmula alternativa.
(E) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhum erro de cálculo comum ou fórmula alternativa.

Fonte: FCC TRT-11 2017 Analista Judiciário – Área Apoio Especializado – Especialidade: Estatística (Caderno Tipo 001). Reproduzida para fins de estudo.

Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 69)

Resposta comentada

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