Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 35)

O Teorema de Bayes nos ajuda a calcular a probabilidade condicional de uma "causa" (como ter sido encaminhado para um analista específico) dado que um "efeito" (um resultado observado) já ocorreu. Ele nos permite atualizar a probabilidade inicial da causa com base em novas informações.

• A) Incorreta: Este valor (0,15) seria a probabilidade total de um processo ser indeferido, $P(I)$, se as taxas de indeferimento (10% para A e 20% para B) fossem aplicadas a todos os processos, sem considerar a análise no mês. Não é a probabilidade de ter sido encaminhado para A dado o evento específico.
• B) Incorreta: Este valor (0,75) não corresponde a nenhum cálculo direto ou erro comum a partir dos dados fornecidos. A probabilidade de ter sido encaminhado para B, $P(B|E)$, seria $0,80$.
• C) Incorreta: Este valor (0,25) não é derivável dos dados fornecidos. Seria o resultado se as probabilidades condicionais de indeferimento e análise no mês fossem diferentes.
• D) Incorreta: Esta é a armadilha da banca. Um erro comum é somar as probabilidades relacionadas ao analista A: $P(M|A) + P(I|M \cap A) = 0,20 + 0,10 = 0,30$. No entanto, essas probabilidades são condicionais a eventos diferentes e não podem ser simplesmente somadas para obter a probabilidade de ter sido encaminhado para A dado o evento composto. O Teorema de Bayes exige a multiplicação das probabilidades condicionais e a divisão pela probabilidade total do evento observado.
• (E) Correta: Para resolver, definimos os eventos: $A$ (encaminhado para A), $B$ (encaminhado para B), $M$ (analisado no mês), $I$ (indeferido). A pergunta pede $P(A | M \cap I)$.
  1. Sabemos $P(A) = P(B) = 0,5$ (mesma proporção).
  2. Para A: $P(M|A) = 0,20$. A probabilidade de ser indeferido dado que foi analisado no mês e encaminhado para A é $P(I|M \cap A) = 0,10$. A probabilidade de um processo de A ser analisado no mês E indeferido é $P(M \cap I | A) = P(I|M \cap A) \times P(M|A) = 0,10 \times 0,20 = 0,02$.
  3. Para B: $P(M|B) = 0,40$. A probabilidade de ser indeferido dado que foi analisado no mês e encaminhado para B é $P(I|M \cap B) = 0,20$. A probabilidade de um processo de B ser analisado no mês E indeferido é $P(M \cap I | B) = P(I|M \cap B) \times P(M|B) = 0,20 \times 0,40 = 0,08$.
  4. A probabilidade total de um processo ser analisado no mês E indeferido ($P(M \cap I)$) é:
     $P(M \cap I) = P(M \cap I | A) \times P(A) + P(M \cap I | B) \times P(B)$
     $P(M \cap I) = (0,02 \times 0,5) + (0,08 \times 0,5) = 0,01 + 0,04 = 0,05$.
  5. Aplicando o Teorema de Bayes:
     $P(A | M \cap I) = \frac{P(M \cap I | A) \times P(A)}{P(M \cap I)} = \frac{0,02 \times 0,5}{0,05} = \frac{0,01}{0,05} = 0,20$.