Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 38)

A distribuição normal é um modelo de probabilidade que descreve dados que se agrupam simetricamente em torno de uma média. Para trabalhar com qualquer distribuição normal, transformamos seus valores em escores Z (padronização), que indicam quantas unidades de desvio padrão um valor está acima ou abaixo da média em uma distribuição normal padrão (média 0, desvio padrão 1), permitindo usar tabelas de probabilidade.

• A) Incorreta: Se $\mu = 5,50\%$, o escore Z seria $Z = (10 - 5,5) / 2 = 2,25$. A probabilidade $P(Z > 2,25)$ é muito menor que 4%, pois $P(Z > 2) = 1 - 0,977 = 0,023$.
• B) Incorreta: Esta é a armadilha mais tentadora. Se $\mu = 6,20\%$, o escore Z seria $Z = (10 - 6,2) / 2 = 1,9$. A probabilidade $P(Z > 1,9)$ é $1 - P(Z < 1,9)$. Como$P(Z < 1,75) = 0,96$e$P(Z < 2) = 0,977$,$P(Z < 1,9)$estaria entre 0,96 e 0,977. Portanto,$P(Z > 1,9) estaria entre \0,023 e \0,04, sendo aproximadamente \0,0287$. Um erro comum seria um cálculo incorreto de$1,75 \times 2 = 3,5, levando a um valor próximo, como \3,8$, o que resultaria em$\mu = 10 - 3,8 = 6,2$.
• C) Incorreta: Se $\mu = 7,35\%$, o escore Z seria $Z = (10 - 7,35) / 2 = 1,325$. A probabilidade $P(Z > 1,325)$ é $1 - P(Z < 1,325)$. Como$P(Z < 1,4) = 0,919$,$P(Z > 1,325) seria maior que \1 - 0,919 = 0,081$, ou seja, aproximadamente 8,1%, o que é o dobro de 4%.
• (D) Correta: Primeiro, identificamos os parâmetros da distribuição: a média é $\mu$ e o desvio padrão é $\sigma = \sqrt{4} = 2\%$. Queremos encontrar $\mu$ tal que $P(X > 10) = 0,04$. Para isso, padronizamos a variável $X$ para $Z$:
  $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
  Então, $P\left(Z > \frac{10 - \mu}{2}\right) = 0,04$.
  Como a distribuição normal padrão é simétrica e a tabela fornece $P(Z < z)$, convertemos a probabilidade:
  $P\left(Z \le \frac{10 - \mu}{2}\right) = 1 - 0,04 = 0,96$.
  Consultando os valores fornecidos, encontramos que $P(Z < 1,75) = 0,96$.
  Portanto, $\frac{10 - \mu}{2} = 1,75$.
  Multiplicando ambos os lados por 2:
  $10 - \mu = 1,75 \times 2$
  $10 - \mu = 3,5$
  Isolando $\mu$:
  $\mu = 10 - 3,5$
  $\mu = 6,50\%$.
• E) Incorreta: Se $\mu = 7,85\%$, o escore Z seria $Z = (10 - 7,85) / 2 = 1,075$. A probabilidade $P(Z > 1,075)$ é $1 - P(Z < 1,075)$. Como$P(Z < 1,4) = 0,919$,$P(Z > 1,075) seria maior que \1 - 0,919 = 0,081$, ou seja, aproximadamente 14%, muito diferente de 4%.