Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 32)

A probabilidade da união de dois eventos (que um evento OU outro aconteça) é calculada somando as probabilidades de cada evento e subtraindo a probabilidade de que ambos aconteçam ao mesmo tempo (a interseção), para não contar essa parte duas vezes. A fórmula é $P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$.

Vamos definir os eventos e probabilidades dadas:

• $M$: Cliente é do sexo feminino. $P(M) = 0.60$ (60% dos clientes são do sexo feminino).
• $H$: Cliente é do sexo masculino. $P(H) = 1 - P(M) = 1 - 0.60 = 0.40$.
• $A$: Cliente opta pela Opção A.
• $B$: Cliente opta pela Opção B.

Probabilidades condicionais dadas:

• $P(A|M) = 0.30$ (30% dos clientes do sexo feminino preferem a opção A).
• $P(B|H) = 0.40$ (40% dos clientes do sexo masculino preferem a opção B).

A partir destas, podemos derivar:

• $P(A|H) = 1 - P(B|H) = 1 - 0.40 = 0.60$ (60% dos clientes do sexo masculino preferem a opção A).
• $P(B|M) = 1 - P(A|M) = 1 - 0.30 = 0.70$ (70% dos clientes do sexo feminino preferem a opção B).

Queremos calcular $P(A \cup H)$, a probabilidade de que o cliente opte pela refeição do tipo A OU seja do sexo masculino.

Usando a fórmula $P(A \cup H) = P(A) + P(H) - P(A \cap H)$:

1. Calcular $P(H)$: Já temos, $P(H) = 0.40$.

2. Calcular $P(A \cap H)$: Probabilidade de o cliente ser do sexo masculino E optar pela opção A.
   $P(A \cap H) = P(A|H) \times P(H) = 0.60 \times 0.40 = 0.24$.

3. Calcular $P(A)$: Probabilidade de o cliente optar pela opção A (independentemente do sexo).
   $P(A) = P(A \cap M) + P(A \cap H)$.
   Primeiro, $P(A \cap M) = P(A|M) \times P(M) = 0.30 \times 0.60 = 0.18$.
   Então, $P(A) = 0.18 + 0.24 = 0.42$.

4. Calcular $P(A \cup H)$:
   $P(A \cup H) = P(A) + P(H) - P(A \cap H)$
   $P(A \cup H) = 0.42 + 0.40 - 0.24$
   $P(A \cup H) = 0.82 - 0.24$
   $P(A \cup H) = 0.58$

Convertendo para porcentagem, $P(A \cup H) = 58\%$.

Uma forma alternativa (e muitas vezes mais intuitiva) de calcular $P(A \cup H)$ é somar as probabilidades dos eventos disjuntos que compõem $A \cup H$:

• Cliente é feminino E escolhe A ($A \cap M$): $P(A \cap M) = 0.18$.
• Cliente é masculino E escolhe A ($A \cap H$): $P(A \cap H) = 0.24$.
• Cliente é masculino E escolhe B ($B \cap H$): $P(B \cap H) = P(B|H) \times P(H) = 0.40 \times 0.40 = 0.16$.
  $P(A \cup H) = P(A \cap M) + P(A \cap H) + P(B \cap H) = 0.18 + 0.24 + 0.16 = 0.58$.

Outra forma, usando o complemento: $P(A \cup H) = 1 - P((A \cup H)^c)$.
$(A \cup H)^c$ significa "não A E não H", ou seja, "escolhe B E é feminino" ($B \cap M$).
$P(B \cap M) = P(B|M) \times P(M) = 0.70 \times 0.60 = 0.42$.
Então, $P(A \cup H) = 1 - P(B \cap M) = 1 - 0.42 = 0.58$.

(A) Incorreta: 74%. Esta alternativa pode ser obtida por um erro de dupla contagem, por exemplo, somando $P(A \cap M) + P(B \cap H) + P(H) = 0.18 + 0.16 + 0.40 = 0.74$. A armadilha aqui é somar $P(H)$ (todos os homens) e depois adicionar $P(B \cap H)$ (homens que escolhem B) novamente, pois $P(H)$ já inclui $P(B \cap H)$.
(B) Incorreta: 82%. Esta é uma pegadinha comum: somar $P(A) + P(H) = 0.42 + 0.40 = 0.82$, esquecendo de subtrair a probabilidade da interseção $P(A \cap H)$ (clientes que são homens E escolhem a opção A), que foi contada duas vezes.
(C) Correta: 58%. Conforme calculado, a probabilidade é de 0.58 ou 58%.
(D) Incorreta: 64%. Esta alternativa pode ser obtida se houvesse um erro na determinação de $P(A \cap M)$. Se $P(A \cap M)$ fosse erroneamente calculado como $0.24$(por exemplo, confundindo$P(A|M)$com$P(B|H)$e calculando$0.40 \times 0.60 = 0.24$), então$P(A) seria \0.24 + 0.24 = 0.48$. Assim,$P(A \cup H) = 0.48 + 0.40 - 0.24 = 0.64$. **(E) Incorreta:** 56$P(A \cap H) fosse \0.26 em vez de \0.24, resultando em \0.42 + 0.40 - 0.26 = 0.56$.