Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 34)

A distribuição binomial é usada para calcular a probabilidade de um número específico de "sucessos" (o evento que nos interessa) em uma série fixa de tentativas independentes, onde cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso) e a probabilidade de sucesso é constante.

Primeiro, calculamos a probabilidade de um processo não ser analisado no mês de recebimento.

• Para o analista A: 20% são analisados, então $100\% - 20\% = 80\%$ não são analisados.
• Para o analista B: 40% são analisados, então $100\% - 40\% = 60\%$ não são analisados.
  Como A e B recebem a mesma proporção de processos (50% para cada), a probabilidade geral de um processo não ser analisado ($p$) é a média ponderada:
  $p = (0,50 \times 0,80) + (0,50 \times 0,60) = 0,40 + 0,30 = 0,70$.

Agora, aplicamos a fórmula da distribuição binomial: $P(X=k) = C(n, k) \times p^k \times (1-p)^{(n-k)}$
Onde:

• $n = 5$ (número de processos selecionados)
• $k = 2$ (exatamente 2 não serem analisados)
• $p = 0,70$ (probabilidade de um processo não ser analisado)
• $1-p = 0,30$ (probabilidade de um processo ser analisado)
• $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (combinações de n elementos tomados k a k)

Cálculo:
$C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10$
$P(X=2) = 10 \times (0,70)^2 \times (0,30)^{(5-2)}$
$P(X=2) = 10 \times (0,49) \times (0,30)^3$
$P(X=2) = 10 \times 0,49 \times 0,027$
$P(X=2) = 10 \times 0,01323 = 0,1323$

(A) Correta: O cálculo resulta em 0,1323, que corresponde a esta alternativa.
(B) Incorreta: Esta alternativa (0,2312) seria próxima se a probabilidade de "não ser analisado" fosse 0,60 (a probabilidade de B não analisar), ignorando os processos de A. $C(5,2) \times (0,60)^2 \times (0,40)^3 = 10 \times 0,36 \times 0,064 = 0,2304$.
(C) Incorreta: Esta alternativa (0,3087) é um distrator comum. Ela ocorre se o estudante calcular a probabilidade de exatamente 2 serem analisados (usando $p=0,30$ para "ser analisado" e $k=2$) ou se calcular a probabilidade de exatamente 3 não serem analisados (usando $p=0,70$ para "não ser analisado" e $k=3$). Por exemplo, $C(5,2) \times (0,30)^2 \times (0,70)^3 = 10 \times 0,09 \times 0,343 = 0,3087$. A armadilha aqui é confundir o evento "não analisado" com "analisado" ou o número de sucessos (k) com o número de fracassos (n-k).
(D) Incorreta: Não corresponde a um erro de cálculo comum ou interpretação direta dos dados.
(E) Incorreta: Não corresponde a um erro de cálculo comum ou interpretação direta dos dados.