Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 37)

A determinação do tamanho da amostra é o cálculo de quantos elementos precisamos coletar para que a média amostral (a média dos dados da amostra) seja uma boa estimativa da média populacional (a média de todos os elementos), dentro de uma margem de erro aceitável e com um certo nível de confiança.

A fórmula utilizada para determinar o tamanho da amostra ($n$) quando a variância populacional ($\sigma^2$) é conhecida e queremos estimar a média é:
$n = \left( \frac{Z \cdot \sigma}{E} \right)^2$
Onde:

• $Z$ é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança desejado.
• $\sigma$ é o desvio padrão da população (raiz quadrada da variância).
• $E$ é a margem de erro máxima permitida (o quanto a média amostral pode se distanciar da média populacional).

No problema:

1. Desvio padrão ($\sigma$): A variância é 4(%)², então $\sigma = \sqrt{4} = 2(\%)$.
2. Margem de erro ($E$): A média amostral não deve se distanciar da média populacional por mais de 0,41%, então $E = 0,41(\%)$.
3. Valor de Z: O nível de confiança é de 96%. Isso significa que $P(|\overline{X} - \mu| \le E) = 0,96$. Na distribuição normal padrão, isso se traduz em $P(-Z \le Z_{padrão} \le Z) = 0,96$. Para encontrar o $Z$ crítico, precisamos de $P(Z_{padrão} < Z) = 1 - \frac{1 - 0,96}{2} = 1 - \frac{0,04}{2} = 1 - 0,02 = 0,98$. Consultando os dados fornecidos, $P(Z < 2,05) = 0,98$. Portanto, $Z = 2,05$.

Agora, aplicamos a fórmula:
$n = \left( \frac{2,05 \cdot 2}{0,41} \right)^2$
$n = \left( \frac{4,10}{0,41} \right)^2$
$n = (10)^2$
$n = 100$

(A) Incorreta: Esta alternativa (64) seria correta se o nível de confiança fosse 95% (onde $Z=1,64$) ou se a margem de erro fosse diferente. É uma armadilha comum usar o $Z$ para 95% de confiança (1,64) em vez de 96% (2,05), pois 95% é um nível de confiança frequentemente utilizado.
(B) Correta: O cálculo resulta em $n=100$, utilizando corretamente o desvio padrão de 2, a margem de erro de 0,41 e o valor de $Z=2,05$ para 96% de confiança.
(C) Incorreta: O valor 121 não corresponde aos parâmetros dados. Se $n=121$, a margem de erro seria aproximadamente 0,37%.
(D) Incorreta: O valor 81 não corresponde aos parâmetros dados. Se $n=81$, a margem de erro seria aproximadamente 0,455%.
(E) Incorreta: O valor 225 não corresponde aos parâmetros dados. Se $n=225$, a margem de erro seria aproximadamente 0,273%.