Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 36)

A distribuição normal descreve dados que se agrupam em torno de uma média e se espalham simetricamente. Para entender a posição de um dado valor dentro dessa distribuição, usamos o Z-score (ou escore-Z), que nos diz quantos desvios padrão (a medida de dispersão dos dados) um valor está acima ou abaixo da média.

Cálculo:

1. Encontrar o desvio padrão ($\sigma$):

   • Sabemos que a média ($\mu$) é 10 cm e o primeiro quartil ($Q_1$) é 7,99 cm.
   • O primeiro quartil corresponde ao Z-score tal que $P(Z < z_{Q1}) = 0,25$.
   • Pela simetria da distribuição normal, se $P(Z < 0,67) = 0,75$, então $P(Z < -0,67) = 1 - P(Z < 0,67) = 1 - 0,75 = 0,25$.
   • Portanto, o Z-score para o primeiro quartil é $z_{Q1} = -0,67$.
   • Usando a fórmula de padronização $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$:
     $-0,67 = \frac{7,99 - 10}{\sigma}$
     $-0,67 = \frac{-2,01}{\sigma}$
     $\sigma = \frac{-2,01}{-0,67} = 3$ cm.

2. Identificar a condição para sucata:

   • Peças que distam da média por mais de 4,2 cm. Isso significa $X < \mu - 4,2$ ou $X > \mu + 4,2$.
   • $X < 10 - 4,2 = 5,8$ cm ou $X > 10 + 4,2 = 14,2$ cm.

3. Calcular os Z-scores para os limites da sucata:

   • Para $X = 5,8$: $Z_1 = \frac{5,8 - 10}{3} = \frac{-4,2}{3} = -1,4$.
   • Para $X = 14,2$: $Z_2 = \frac{14,2 - 10}{3} = \frac{4,2}{3} = 1,4$.

4. Calcular a proporção de sucata:

   • A proporção de sucata é $P(X < 5,8 \text{ ou } X > 14,2)$, que é equivalente a $P(Z < -1,4 \text{ ou } Z > 1,4)$.
   • Pela tabela, $P(Z < 1,4) = 0,919$.
   • Então, $P(Z > 1,4) = 1 - P(Z < 1,4) = 1 - 0,919 = 0,081$.
   • Devido à simetria da distribuição normal, $P(Z < -1,4) = P(Z > 1,4) = 0,081$.
   • A proporção total de sucata é $P(Z < -1,4) + P(Z > 1,4) = 0,081 + 0,081 = 0,162$.
   • Em porcentagem, isso é $16,2\%$.

(A) Incorreta: O valor não corresponde ao cálculo correto da probabilidade de sucata.
(B) Incorreta: O valor não corresponde ao cálculo correto da probabilidade de sucata.
(C) Incorreta: Este valor (8,1%) representa a probabilidade de uma única "cauda" (por exemplo, $P(X < 5,8)$ ou $P(X > 14,2)$). A armadilha da banca aqui é que a condição "distam da média por mais do que 4,2 cm" implica considerar ambas as caudas da distribuição (valores muito pequenos e valores muito grandes), e não apenas uma delas.
(D) Incorreta: O valor não corresponde ao cálculo correto da probabilidade de sucata.
(E) Correta: A proporção de peças que distam da média por mais de 4,2 cm é a soma das probabilidades das duas caudas da distribuição, $P(Z < -1,4)$ e $P(Z > 1,4)$, resultando em $0,081 + 0,081 = 0,162$, ou$16,2%$.