Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 66)

O teste de hipóteses nos ajuda a decidir se a evidência de uma amostra é forte o suficiente para rejeitar uma suposição inicial sobre uma população (a hipótese nula, $H_0$). Calculamos uma estatística de teste (aqui, o valor t) e comparamos com um valor crítico (obtido de uma tabela) para um dado nível de significância ($\alpha$, que é a probabilidade de rejeitar $H_0$ quando ela é verdadeira). Se a estatística de teste for mais "extrema" que o valor crítico, rejeitamos $H_0$.

1. Calcular a estatística t:

   • Hipótese nula $H_0: \mu = 12$.
   • Média amostral $\bar{x} = 12.8$.
   • Tamanho da amostra $n = 9$.
   • Variância amostral $s^2 = 1.44 \implies$ desvio padrão amostral $s = \sqrt{1.44} = 1.2$.
   • Graus de liberdade $GL = n - 1 = 9 - 1 = 8$.
   • A estatística t é calculada por $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{12.8 - 12}{1.2 / \sqrt{9}} = \frac{0.8}{1.2 / 3} = \frac{0.8}{0.4} = 2.0$.

2. Comparar com os valores críticos (tabela para GL=8, teste unicaudal à direita):

   • Para $\alpha = 5\%$ ($0.05$):$t_{crítico} = 1.860$.
   • Para $\alpha = 1\%$ ($0.01$):$t_{crítico} = 2.896$.

3. Decisão:

   • Ao nível de 5%: $t_{calculado} = 2.0 > t_{crítico, 0.05} = 1.860$. Portanto, rejeitamos $H_0$ a 5%.
   • Ao nível de 1%: $t_{calculado} = 2.0 < t_{crítico, 0.01} = 2.896$. Portanto, não rejeitamos $H_0$ a 1%.

4. Estimativa do p-valor: O p-valor é a probabilidade de obter um valor t de 2.0 ou mais extremo, se $H_0$ for verdadeira. Pela tabela, sabemos que $P(t_8 > 1.860) = 0.05$ e $P(t_8 > 2.306) = 0.025$. Como $1.860 < 2.0 < 2.306, o p-valor está entre 0.025 e 0.05. Ou seja, \0.025 < p-valor < 0.05$.

(A) Incorreta: A afirmação "não é rejeitada ao nível de significância de 5%" é falsa, pois $H_0$ é rejeitada a 5%. A afirmação "é rejeitada ao nível de significância de 1%" também é falsa, pois $H_0$ não é rejeitada a 1%.
(B) Incorreta: A afirmação "não é rejeitada para qualquer nível de significância superior a 1% e inferior a 5%" é falsa. Como o p-valor está entre 0.025 e 0.05, se escolhermos um $\alpha$ nesse intervalo (por exemplo, $\alpha = 0.04$), e $p-valor < \alpha$, $H_0$ seria rejeitada. A armadilha é que "qualquer nível" exige que a condição seja verdadeira para todos os valores de $\alpha$ nesse intervalo, o que não ocorre aqui.
(C) Incorreta: A afirmação "é rejeitada tanto ao nível de significância de 1% como ao nível de significância de 5%" é falsa, pois $H_0$ não é rejeitada a 1%.
(D) Correta: Se o nível de significância $\alpha$ for inferior a 1% (ou seja, $\alpha < 0.01$), o valor crítico $t_\alpha$ será maior que $t_{0.01, 8} = 2.896$. Como nosso $t_{calculado} = 2.0$ é menor que $2.896$, ele será menor que qualquer$t_\alpha$para$\alpha < 0.01$. Portanto,$H_0$não será rejeitada para qualquer$\alpha < 0.01$. Em termos de p-valor: se$\alpha < 0.01$, e sabemos que$p-valor > 0.025$, então$p-valor > \alpha$, o que significa que$H_0$não é rejeitada. **(E) Incorreta:** A afirmação "não é rejeitada para qualquer nível de significância β tal que β > 5$\alpha > 0.05$, o valor crítico$t_\alpha$será menor que$t_{0.05, 8} = 1.860$. Como nosso$t_{calculado} = 2.0 é maior que \1.860$, ele será maior que qualquer$t_\alpha$para$\alpha > 0.05$. Portanto,$H_0$ seria rejeitada, e não não rejeitada.