Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 64)

Um intervalo de confiança é um range de valores que, com uma certa probabilidade (o nível de confiança), contém o verdadeiro valor de um parâmetro populacional, como a média ($\mu$). Ele é construído em torno da média amostral ($\bar{x}$) e sua largura depende do desvio padrão da população ($\sigma$), do tamanho da amostra ($n$) e do nível de confiança escolhido.

A fórmula para o limite superior (LS) de um intervalo de confiança para a média, com variância populacional $\sigma^2$ conhecida, é:
$LS = \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Dados do problema:

• $n = 64 \implies \sqrt{n} = 8$
• Para 95% de confiança, $z_{\alpha/2} = 1,96$ (pois $P(|Z| > 1,96) = 0,05$).
• Para 99% de confiança, $z_{\alpha/2} = 2,58$ (pois $P(|Z| > 2,58) = 0,01$).

Montando as equações com os limites superiores dados:

1. Para o IC de 95%: 20,98 = \bar{x} + 1,96 \frac{\sigma}{8}\
2. Para o IC de 99%: $21,29 = \bar{x} + 2,58 \frac{\sigma}{8}$

Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar $\bar{x}$:
$21,29 - 20,98 = ( \bar{x} + 2,58 \frac{\sigma}{8} ) - ( \bar{x} + 1,96 \frac{\sigma}{8} )$
$0,31 = (2,58 - 1,96) \frac{\sigma}{8}$
$0,31 = 0,62 \frac{\sigma}{8}$

Agora, isolamos $\sigma$:
$0,31 \times 8 = 0,62 \sigma$
$2,48 = 0,62 \sigma$
$\sigma = \frac{2,48}{0,62}$
$\sigma = 4$

A questão pede a variância ($\sigma^2$), então:
$\sigma^2 = 4^2 = 16$

(A) Correta: O cálculo detalhado acima demonstra que a variância $\sigma^2$ é igual a 16,00.
(B) Incorreta: Este valor seria $2,5^2$, não correspondendo ao resultado obtido a partir das equações dos intervalos de confiança.
(C) Incorreta: Este valor é o desvio padrão ($\sigma = 4$), e não a variância ($\sigma^2$). A armadilha da banca aqui é que o valor de $\sigma$ é um resultado intermediário do cálculo, e muitos candidatos podem esquecer de elevá-lo ao quadrado para obter a variância.
(D) Incorreta: Este valor seria $3,5^2$, não correspondendo ao resultado obtido.
(E) Incorreta: Este valor seria $3^2$, não correspondendo ao resultado obtido.