Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 63)

Um estimador não viesado é aquele cujo valor esperado (média) é igual ao parâmetro que ele está tentando estimar. Um estimador eficiente é um estimador não viesado que possui a menor variância possível.

• 1. Condição de Não Viesamento:
  Para que $T$ seja um estimador não viesado de $\mu$, seu valor esperado $E[T]$ deve ser igual a $\mu$.
  $E[T] = E[(m - 1)X_1 - nX_2]$
  Pela linearidade da esperança:
  $E[T] = (m - 1)E[X_1] - nE[X_2]$
  Como $E[X_1] = \mu$ e $E[X_2] = \mu$:
  $E[T] = (m - 1)\mu - n\mu$
  $E[T] = (m - 1 - n)\mu$
  Para $E[T] = \mu$, devemos ter:
  $m - 1 - n = 1$
  Isso implica que $n = m - 2$. Esta é a condição para que $T$ seja não viesado.

• 2. Condição de Eficiência (Minimização da Variância):
  Entre os estimadores não viesados, o mais eficiente é aquele com a menor variância.
  A variância de $T$ é:
  $Var(T) = Var((m - 1)X_1 - nX_2)$
  Como $X_1$ e $X_2$ são independentes, $Var(aX_1 + bX_2) = a^2Var(X_1) + b^2Var(X_2)$.
  $Var(T) = (m - 1)^2 Var(X_1) + (-n)^2 Var(X_2)$
  Dado $Var(X_1) = 25$ e $Var(X_2) = 25$:
  $Var(T) = (m - 1)^2 (25) + n^2 (25)$
  $Var(T) = 25[(m - 1)^2 + n^2]$
  Agora, substituímos a condição de não viesamento $n = m - 2$ na expressão da variância:
  $Var(T) = 25[(m - 1)^2 + (m - 2)^2]$
  Para encontrar o valor de $m$ que minimiza $Var(T)$, precisamos minimizar a função $f(m) = (m - 1)^2 + (m - 2)^2$.
  $f(m) = (m^2 - 2m + 1) + (m^2 - 4m + 4)$
  $f(m) = 2m^2 - 6m + 5$
  Para encontrar o mínimo, derivamos $f(m)$ em relação a $m$ e igualamos a zero:
  $f'(m) = 4m - 6$
  $4m - 6 = 0 \4m = 6$$m = 6/4 = 3/2 = 1.5$A segunda derivada$f''(m) = 4$, que é positiva, confirmando que$m = 1.5$ é um ponto de mínimo.

(A) Incorreta: O valor de $m=0,50$ não minimiza a variância do estimador não viesado.
(B) Correta: Quando $m = 1,50$, a variância do estimador não viesado $T$ é minimizada, tornando-o o estimador mais eficiente da classe.
(C) Incorreta: Se $m=1,00$, então $n = 1-2 = -1$. A variância seria $25[(1-1)^2 + (-1)^2] = 25[0 + 1] = 25$. Para $m=1,50$, a variância é $25[(1,5-1)^2 + (1,5-2)^2] = 25[(0,5)^2 + (-0,5)^2] = 25[0,25 + 0,25] = 25[0,5] = 12,5$. A armadilha é pensar que anular um dos termos $(m-1)$ ou $n$ (que se relaciona com $m-2$) na variância levaria ao mínimo, mas o mínimo ocorre quando os termos $(m-1)^2$ e $(m-2)^2$ são "equilibrados" e não quando um deles é zero.
(D) Incorreta: O valor de $m=0,75$ não minimiza a variância do estimador não viesado.
(E) Incorreta: Se $m=2,00$, então $n = 2-2 = 0$. A variância seria $25[(2-1)^2 + (0)^2] = 25[1 + 0] = 25$. Assim como na alternativa C, anular um dos termos não resulta no mínimo global da variância.