Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 62)

O coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão relativa que indica o quão espalhados os dados estão em relação à sua média. Ele é calculado dividindo o desvio padrão pela média, e é útil para comparar a variabilidade de conjuntos de dados com médias diferentes.

Para resolver a questão, primeiro calculamos a média ($\mu$), a variância ($\sigma^2$) e o desvio padrão ($\sigma$) da população original:

1. Média ($\mu$): $\mu = \frac{\sum X_i}{N} = \frac{84}{10} = 8,4$.
2. Variância ($\sigma^2$): $\sigma^2 = \frac{\sum X_i^2}{N} - \mu^2 = \frac{720}{10} - (8,4)^2 = 72 - 70,56 = 1,44$.
3. Desvio Padrão ($\sigma$): $\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{1,44} = 1,2$.

Agora, avaliamos cada afirmação:

(A) Incorreta: A alternativa A afirma que I, II e III estão corretas. Como veremos, a afirmação II está incorreta.
(B) Incorreta: A alternativa B afirma que III e IV estão corretas. Como veremos, as afirmações I, III e IV estão corretas.
(C) Incorreta: A alternativa C afirma que I e III estão corretas. Como veremos, as afirmações I, III e IV estão corretas.
(D) Incorreta: A alternativa D afirma que II e IV estão corretas. Como veremos, a afirmação II está incorreta e a afirmação I também está correta.
(E) Correta:
* I. O coeficiente de variação é igual a 1/7.
$CV = \frac{\sigma}{\mu} = \frac{1,2}{8,4} = \frac{12}{84} = \frac{1}{7}$. A afirmação está correta.
* II. A média geométrica é igual a raiz quadrada de $10^{9,185}$.
A Média Geométrica (MG) é dada por $MG = 10^{\frac{\sum \log(X_i)}{N}}$.
$MG = 10^{\frac{9,185}{10}} = 10^{0,9185}$.
A afirmação diz que $MG = \sqrt{10^{9,185}} = (10^{9,185})^{1/2} = 10^{9,185/2} = 10^{4,5925}$.
Como $10^{0,9185} \neq 10^{4,5925}$, a afirmação está incorreta. A armadilha aqui é confundir a divisão pelo número de elementos (N=10) com a raiz quadrada (divisão por 2 no expoente).
* III. Multiplicando todos os elementos da população por 2, o coeficiente de variação da nova população formada não se altera.
Se $Y_i = c \cdot X_i$, então a nova média $\mu_Y = c \cdot \mu_X$ e o novo desvio padrão $\sigma_Y = c \cdot \sigma_X$ (para $c>0$).
O novo coeficiente de variação $CV_Y = \frac{\sigma_Y}{\mu_Y} = \frac{c \cdot \sigma_X}{c \cdot \mu_X} = \frac{\sigma_X}{\mu_X} = CV_X$.
Portanto, o coeficiente de variação não se altera. A afirmação está correta.
* IV. Dividindo todos os elementos da população por 2, a variância da nova população formada é igual a 25% da variância anterior.
Se $Z_i = X_i/c$, onde $c=2$, então a nova variância $\sigma_Z^2 = (1/c)^2 \cdot \sigma_X^2 = (1/2)^2 \cdot \sigma_X^2 = (1/4) \cdot \sigma_X^2$.
$1/4 = 0,25 = 25\%$. A nova variância é 25% da anterior. A afirmação está correta.

As afirmações I, III e IV estão corretas.