Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 61)

As medidas de posição (média, mediana e moda) nos ajudam a entender o "centro" de um conjunto de dados, especialmente quando organizados em classes, como em um histograma. A média é o valor médio aritmético, a mediana é o valor central que divide os dados em duas metades iguais, e a moda é o valor que aparece com maior frequência.

Para resolver a questão, primeiro extraímos os dados do histograma:

1. Cálculo da Média (Me):
   A média é calculada pela soma dos produtos dos pontos médios pelas suas frequências, dividida pelo total de frequências.
   $Me = \frac{\sum (f_i \times x_i)}{N} = \frac{1862.5}{115} \approx 16.19565$ SM.

2. Cálculo da Mediana (Md):
   A mediana é o valor que ocupa a posição central. A posição da mediana é $N/2 = 115/2 = 57.5$.
   Consultando a frequência acumulada, a classe da mediana é [15, 20), pois a frequência acumulada até a classe anterior é 50, e a frequência acumulada da classe [15, 20) é 80, que contém a posição 57.5.
   Fórmula da mediana por interpolação linear: $Md = L + \left(\frac{\frac{N}{2} - F_{ant}}{f_{med}}\right) \times h$
   Onde:

   • L = limite inferior da classe da mediana = 15
   • $F_{ant}$ = frequência acumulada da classe anterior à classe da mediana = 50
   • $f_{med}$ = frequência da classe da mediana = 30
   • h = amplitude da classe = 5
     $Md = 15 + \left(\frac{57.5 - 50}{30}\right) \times 5 = 15 + \left(\frac{7.5}{30}\right) \times 5 = 15 + 0.25 \times 5 = 15 + 1.25 = 16.25$ SM.

3. Cálculo da Moda (Mo):
   A classe modal é a classe com a maior frequência, que é [15, 20) com frequência 30.
   A questão fornece uma fórmula específica para a moda (Fórmula de King*): $Mo = L + \dfrac{f^{**}}{f^*+f^{**}} \times h$
   Onde:

   • L = limite inferior da classe modal = 15
   • $f^*$ = frequência da classe anterior à classe modal = frequência de [10, 15) = 25
   • $f^{**}$ = frequência da classe posterior à classe modal = frequência de [20, 25) = 20
   • h = amplitude da classe = 5
     $Mo = 15 + \dfrac{20}{25+20} \times 5 = 15 + \dfrac{20}{45} \times 5 = 15 + \dfrac{100}{45} = 15 + 2.222... \approx 17.22222$ SM.

4. Cálculo de (Me + Md + Mo):
   Somando os valores calculados:
   $Me + Md + Mo \approx 16.19565 + 16.25 + 17.22222 = 49.66787$ SM.

O valor calculado de (Me + Md + Mo) é aproximadamente 49.67 SM. Nenhuma das alternativas fornecidas corresponde a esse valor. Dada a instrução de que o gabarito oficial é C) 19.2, há uma clara discrepância entre os cálculos baseados nos dados e fórmulas fornecidas e o gabarito. Isso sugere um erro na questão, nas opções ou no gabarito oficial. No entanto, para seguir a instrução de explicar o gabarito, deve-se notar que, com os dados e fórmulas apresentados, o valor de 19.2 não é alcançável. A explicação abaixo reflete a impossibilidade de chegar ao gabarito com os cálculos corretos.

• (A) Incorreta: O valor calculado de (Me + Md + Mo) é aproximadamente 49.67, não 18.6.
• (B) Incorreta: O valor calculado de (Me + Md + Mo) é aproximadamente 49.67, não 19.7.
• (C) Correta: Se 19.2 é o gabarito oficial, há uma inconsistência com os cálculos diretos das medidas de posição (média, mediana e moda) utilizando os dados do histograma e as fórmulas fornecidas. Os cálculos resultam em uma soma de aproximadamente 49.67, não 19.2. Portanto, o gabarito oficial de 19.2 não pode ser obtido com os dados e métodos apresentados. A armadilha da banca, neste caso, seria a existência de um erro na própria questão ou no gabarito, levando o aluno a uma resposta incorreta mesmo com cálculos precisos.
• (D) Incorreta: O valor calculado de (Me + Md + Mo) é aproximadamente 49.67, não 18.7.
• (E) Incorreta: O valor calculado de (Me + Md + Mo) é aproximadamente 49.67, não 18.5.