Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 59)

O núcleo (ou kernel) de uma transformação linear $T$ é o conjunto de todos os vetores do domínio que são mapeados para o vetor zero do contradomínio. Para encontrar uma base do núcleo, precisamos resolver o sistema linear $T(x, y, z) = (0, 0, 0)$ e expressar a solução como uma combinação linear de vetores linearmente independentes.

Para $T(x, y, z) = (2x + y − 2z, x + z, x + y − 3z)$, igualamos a $(0, 0, 0)$:

1. $2x + y − 2z = 0$
2. x + z = 0 \implies x = -z\
3. $x + y − 3z = 0$

Substituindo $x = -z$ na equação (1):
$2(-z) + y - 2z = 0$$-2z + y - 2z = 0$$y - 4z = 0 \implies y = 4z$

Verificando com a equação (3):
$(-z) + (4z) - 3z = 0$
$3z - 3z = 0 \0 = 0$ (O sistema é consistente)

As soluções são da forma $(x, y, z) = (-z, 4z, z)$.
Podemos escrever isso como $z(-1, 4, 1)$.
Assim, o núcleo é o espaço gerado pelo vetor $(-1, 4, 1)$. Uma base para o núcleo é o conjunto que contém este vetor.

(A) Incorreta: O conjunto possui 3 vetores. A dimensão do núcleo (nulidade) é 1, pois é gerado por apenas um vetor. Além disso, testando o primeiro vetor: $T(3, 0, 3) = (2(3)+0-2(3), 3+3, 3+0-3(3)) = (0, 6, -6) \neq (0,0,0)$, então ele não pertence ao núcleo. A armadilha aqui é a quantidade de vetores, que pode confundir com a dimensão do domínio.
(B) Incorreta: O conjunto possui 1 vetor, que é a dimensão correta para a base do núcleo. No entanto, testando o vetor: $T(2, 4, 4) = (2(2)+4-2(4), 2+4, 2+4-3(4)) = (4+4-8, 6, 6-12) = (0, 6, -6) \neq (0,0,0)$, então ele não pertence ao núcleo.
(C) Incorreta: O conjunto possui 2 vetores. A dimensão do núcleo é 1. Além disso, testando o primeiro vetor: $T(0, 2, 1) = (2(0)+2-2(1), 0+1, 0+2-3(1)) = (0, 1, -1) \neq (0,0,0)$, então ele não pertence ao núcleo.
(D) Incorreta: O conjunto possui 3 vetores. A dimensão do núcleo é 1. Além disso, testando o primeiro vetor: $T(4, 4, 6) = (2(4)+4-2(6), 4+6, 4+4-3(6)) = (8+4-12, 10, 8-18) = (0, 10, -10) \neq (0,0,0)$, então ele não pertence ao núcleo.
(E) Correta: O conjunto possui 1 vetor, o que corresponde à dimensão do núcleo. Testando o vetor: $T(-1, 4, 1) = (2(-1)+4-2(1), -1+1, -1+4-3(1)) = (-2+4-2, 0, -1+4-3) = (0, 0, 0)$. Como o vetor $(-1, 4, 1)$ é mapeado para o vetor zero e é um vetor não nulo (portanto, linearmente independente), ele forma uma base para o núcleo.