Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 58)

Uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que "preserva" as operações de soma de vetores e multiplicação por um número (escalar). Isso significa que, para quaisquer vetores $u, v$ e escalar $c$, $T(u+v) = T(u) + T(v)$ e $T(c \cdot u) = c \cdot T(u)$.

Para uma transformação linear $T: R^2 \rightarrow R$, ela geralmente pode ser expressa na forma $T(x, y) = ax + by$ para algumas constantes $a$ e $b$. Vamos usar as informações dadas para encontrar $a$ e $b$:

1. $T(2, 2) = 10 \implies 2a + 2b = 10 \implies a + b = 5$ (dividindo por 2)
2. $T(1, 4) = 14 \implies 1a + 4b = 14$

Agora, resolvemos o sistema de equações:
De (1), $a = 5 - b$. Substituímos em (2):
$(5 - b) + 4b = 14$
$5 + 3b = 14 \3b = 14 - 5 \3b = 9$$b = 3$

Substituímos $b=3$ em $a = 5 - b$:
$a = 5 - 3$
$a = 2$

Portanto, a transformação linear é $T(x, y) = 2x + 3y$.
Agora, calculamos $T(2, 3)$:
$T(2, 3) = 2(2) + 3(3) = 4 + 9 = 13$.

(A) Incorreta: Este valor não corresponde ao resultado da aplicação correta das propriedades da transformação linear. A armadilha da banca aqui pode ser induzir o aluno a tentar encontrar uma relação não linear ou cometer um erro de cálculo ao resolver o sistema de equações para $a$ e $b$, ou ao aplicar a transformação final. Por exemplo, um erro comum seria assumir uma relação simples como $T(x,y) = x+y+k$, que não é linear e não se encaixa nos dados fornecidos.
(B) Incorreta: Este valor não é obtido pela aplicação correta das propriedades da transformação linear.
(C) Incorreta: Este é o valor de $T(2,2)$. Não há razão para $T(2,3)$ ser igual a $T(2,2)$ em uma transformação linear, a menos que os vetores fossem linearmente dependentes de uma forma específica que os tornasse iguais, o que não é o caso aqui.
(D) Correta: O valor de $T(2, 3)$ é 13. Isso é determinado ao encontrar a forma explícita da transformação linear $T(x, y) = 2x + 3y$, utilizando as propriedades de linearidade e os valores dados de $T(2, 2)$ e $T(1, 4)$.
(E) Incorreta: Este valor não é o resultado da aplicação correta das propriedades da transformação linear.