Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 55)

Vetores são linearmente dependentes se um deles pode ser escrito como uma combinação dos outros, ou, para vetores em $\mathbb{R}^3$, se o determinante da matriz formada por esses vetores for igual a zero. Isso significa que eles não "ocupam" todo o espaço $\mathbb{R}^3$, mas sim um plano ou uma linha.

Para resolver a questão, formamos uma matriz com os vetores dados e calculamos seu determinante:
$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \ 6 & 1 & x \ y & x & 12 \end{pmatrix}$

O determinante de M é:
$det(M) = 1 \cdot (1 \cdot 12 - x \cdot x) - 0 \cdot (6 \cdot 12 - x \cdot y) + 1 \cdot (6 \cdot x - 1 \cdot y)$
$det(M) = (12 - x^2) - 0 + (6x - y)$
$det(M) = 12 - x^2 + 6x - y$

Como os vetores são linearmente dependentes, o determinante deve ser zero:
$12 - x^2 + 6x - y = 0$

Para encontrar o maior valor de $y$, isolamos $y$:
$y = -x^2 + 6x + 12$

Esta é uma função quadrática de $x$ na forma $f(x) = ax^2 + bx + c$. Como o coeficiente de $x^2$ é negativo ($a = -1$), a parábola se abre para baixo, o que significa que ela tem um valor máximo. O valor de $x$ no vértice da parábola (onde ocorre o máximo) é dado por $x_v = -b / (2a)$.
$x_v = -6 / (2 \cdot -1) = -6 / -2 = 3$

Agora, substituímos $x = 3$ na equação de $y$ para encontrar o valor máximo de $y$:
$y_{max} = -(3)^2 + 6(3) + 12$
$y_{max} = -9 + 18 + 12$
$y_{max} = 9 + 12$
$y_{max} = 21$

Portanto, o maior valor de $y$ para que os vetores sejam linearmente dependentes é 21.

• (A) Incorreta: Este valor (17) é um possível valor para $y$ (ocorre quando $x=1$ ou $x=5$), mas não é o maior valor que $y$ pode assumir. A armadilha da banca é testar a compreensão do aluno sobre como maximizar uma função quadrática, ou levá-lo a testar valores arbitrários de $x$ em vez de encontrar o máximo.
• (B) Correta: O maior valor de $y$ é 21, obtido ao encontrar o ponto máximo da função quadrática $y = -x^2 + 6x + 12$, que ocorre quando $x=3$.
• (C) Incorreta: Este valor não corresponde ao máximo da função $y = -x^2 + 6x + 12$.
• (D) Incorreta: Este valor é muito superior ao máximo real e não pode ser obtido pela função $y = -x^2 + 6x + 12$.
• (E) Incorreta: Este valor não corresponde ao máximo da função $y = -x^2 + 6x + 12$.