Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 54)

Para um subconjunto W ser um subespaço vetorial de um espaço vetorial V, ele precisa satisfazer três condições essenciais: 1) o vetor nulo (o vetor zero) deve pertencer a W; 2) a soma de quaisquer dois vetores de W deve resultar em um vetor que também pertence a W (fechamento sob a soma); e 3) a multiplicação de qualquer vetor de W por um escalar (número real) deve resultar em um vetor que também pertence a W (fechamento sob a multiplicação por escalar).

• (A) Incorreta: Não contém o vetor nulo (0,0,0), pois para ele z=0, e a condição é z > 0.
• (B) Incorreta: Embora contenha o vetor nulo, não é fechado sob a soma. Por exemplo, (0.5, 0, 0) e (0.5, 0, 0) estão em W ($0.5^2 < 1$), mas sua soma (1, 0, 0) não está, pois $1^2 \not< 1$. A armadilha é que, por ser uma região "curva" (uma esfera aberta), ela não se comporta como um espaço linear.
• (C) Correta: Contém o vetor nulo (0+0+0=0), é fechado sob a soma (se $x_1+y_1+z_1=0$ e $x_2+y_2+z_2=0$, então $(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2) = (x_1+y_1+z_1)+(x_2+y_2+z_2) = 0+0=0$), e é fechado sob a multiplicação por escalar (se $x+y+z=0$, então $c(x+y+z)=c \cdot 0 = 0$, ou seja, $cx+cy+cz=0$).
• (D) Incorreta: Não é fechado sob a multiplicação por escalar. Embora contenha o vetor nulo e seja fechado sob a soma, se tomarmos um vetor $(1,0,0)$ (onde 1 é racional) e multiplicarmos por um escalar irracional como $\sqrt{2}$, o resultado é $(\sqrt{2},0,0)$, que não pertence a W, pois $\sqrt{2}$ não é racional. A armadilha é esquecer que os escalares para $\mathbb{R}^3$ são números reais, não apenas racionais.
• (E) Incorreta: $\mathbb{R}^2$ não é um subconjunto de $\mathbb{R}^3$. $\mathbb{R}^2$ consiste em vetores de duas coordenadas, enquanto $\mathbb{R}^3$ consiste em vetores de três coordenadas. Para ser um subespaço, W deve ser um subconjunto de V.