Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 50)

Uma função densidade de probabilidade (FDP) para duas variáveis aleatórias contínuas, como $(X,Y)$, descreve a probabilidade relativa de que essas variáveis assumam um par de valores específicos. Para calcular a probabilidade de $(X,Y)$ cair em uma determinada região, integramos a FDP sobre essa região, e a integral da FDP sobre todo o domínio deve ser igual a 1.

(A) Incorreta: O valor final obtido não corresponde à probabilidade calculada corretamente.
(B) Correta: Para resolver, primeiro determinamos a constante $k$ garantindo que a integral da função densidade de probabilidade $f(x,y)$ sobre todo o domínio ($0 < x < 1 e \0 < y < 1$) seja igual a 1.$\int_0^1 \int_0^1 k(2x+y^2) ,dx,dy = k \int_0^1 [x^2+xy^2]_0^1 ,dy = k \int_0^1 (1+y^2) ,dy = k [y+\frac{y^3}{3}]_0^1 = k(1+\frac{1}{3}) = k\frac{4}{3}$. Igualando a 1, temos$k\frac{4}{3} = 1 \implies k = \frac{3}{4}$. Em seguida, calculamos a probabilidade de ambas as tarefas ocuparem no máximo 1/3 do trabalho diário, o que significa$P(X \le 1/3, Y \le 1/3)$. Integramos$f(x,y)$sobre a região$0 < x \le 1/3$e$0 < y \le 1/3$:$P = \int_0^{1/3} \int_0^{1/3} \frac{3}{4}(2x+y^2) ,dx,dy$. A integral interna é$\int_0^{1/3} \frac{3}{4}(2x+y^2) ,dx = \frac{3}{4}[x^2+xy^2]_0^{1/3} = \frac{3}{4}((\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3}y^2) = \frac{3}{4}(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}y^2)$. A integral externa é$\int_0^{1/3} \frac{3}{4}(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}y^2) ,dy = \frac{3}{4}[\frac{1}{9}y + \frac{y^3}{9}]_0^{1/3} = \frac{3}{4}(\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{3} + \frac{(1/3)^3}{9}) = \frac{3}{4}(\frac{1}{27} + \frac{1/27}{9}) = \frac{3}{4}(\frac{1}{27} + \frac{1}{243})$. Para somar as frações, usamos o denominador comum 243:$\frac{1}{27} = \frac{9}{243}$. Então,$P = \frac{3}{4}(\frac{9}{243} + \frac{1}{243}) = \frac{3}{4}(\frac{10}{243}) = \frac{30}{972}$. Simplificando a fração dividindo o numerador e o denominador por 6, obtemos$\frac{5}{162}$.
(C) Incorreta: O valor final obtido não corresponde à probabilidade calculada corretamente.
(D) Incorreta: O valor final obtido não corresponde à probabilidade calculada corretamente.
(E) Incorreta: O valor final obtido não corresponde à probabilidade calculada corretamente.