Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 49)

A Distribuição Multinomial é usada para calcular a probabilidade de obter um número específico de resultados para cada uma de várias categorias, quando realizamos um número fixo de tentativas independentes e com probabilidades constantes para cada categoria.

Vamos resolver o problema:

1. As proporções das peças são: Boas ($P_B = 0.7$), Pequenos Defeitos ($P_{PD} = p$) e Grandes Defeitos ($P_{GD} = q$).
2. A soma das proporções deve ser 1: $0.7 + p + q = 1 \implies p + q = 0.3$.
3. A amostra tem $n=4$ peças, com reposição. Queremos a probabilidade de ter 2 peças boas ($x_B=2$), 1 com pequeno defeito ($x_{PD}=1$) e 1 com grande defeito ($x_{GD}=1$).
4. A fórmula da probabilidade multinomial é: $P(x_B, x_{PD}, x_{GD}) = \frac{n!}{x_B!x_{PD}!x_{GD}!} P_B^{x_B} P_{PD}^{x_{PD}} P_{GD}^{x_{GD}}$.
5. Substituindo os valores: $P(2,1,1) = \frac{4!}{2!1!1!} (0.7)^2 (p)^1 (q)^1$.
6. Calculando o coeficiente multinomial: $\frac{4!}{2!1!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)(1)} = 12$.
7. A equação da probabilidade é: $12 \times (0.7)^2 \times p \times q = 0.0588$.
8. $12 \times 0.49 \times p \times q = 0.0588$.
9. $5.88 \times p \times q = 0.0588$.
10. Dividindo ambos os lados por 5.88: $p \times q = 0.01$.
11. Agora temos um sistema de equações:
    • $p + q = 0.3$
    • p \times q = 0.01\
12. Podemos substituir $q = 0.3 - p$ na segunda equação: $p(0.3 - p) = 0.01 \implies 0.3p - p^2 = 0.01 \implies p^2 - 0.3p + 0.01 = 0$.
13. Resolvendo a equação quadrática $p = \frac{-(-0.3) \pm \sqrt{(-0.3)^2 - 4(1)(0.01)}}{2(1)} = \frac{0.3 \pm \sqrt{0.09 - 0.04}}{2} = \frac{0.3 \pm \sqrt{0.05}}{2}$.
14. $\sqrt{0.05} \approx 0.2236$.
15. As soluções para $p$ são: $p_1 = \frac{0.3 + 0.2236}{2} \approx 0.2618$ e $p_2 = \frac{0.3 - 0.2236}{2} \approx 0.0382$.
16. Dada a condição $p > q$:
    • Se $p \approx 0.2618$, então $q = 0.3 - 0.2618 \approx 0.0382$. Aqui, $p > q$ é satisfeita.
    • Se $p \approx 0.0382$, então $q = 0.3 - 0.0382 \approx 0.2618$. Aqui, $p < q$, então esta solução é descartada.
17. Portanto, o valor de $p$ deveria ser aproximadamente $0.2618$ (ou 26.18%). No entanto, este valor não está nas alternativas.

Análise das Alternativas e a Armadilha da Banca:

• (A) Incorreta: $p=8\%=0.08$. Se $p=0.08$, então $q=0.3-0.08=0.22$. Mas a condição $p>q$ ($0.08>0.22$) não é satisfeita.
• (B) Incorreta: $p=10\%=0.10$. Se $p=0.10$, então $q=0.3-0.10=0.20$. Mas a condição $p>q$ ($0.10>0.20$) não é satisfeita.
• (C) Incorreta: $p=16\%=0.16$. Se $p=0.16$, então $q=0.3-0.16=0.14$. A condição $p>q$ ($0.16>0.14$) é satisfeita. Esta alternativa é um **distrator tentador** porque satisfaz as condições$p+q=0.3$e$p>q$. Contudo, ao calcular a probabilidade com esses valores ($12 \times (0.7)^2 \times 0.16 \times 0.14 = 0.131712), ela não corresponde ao valor \0.0588$ dado no enunciado.
• (D) Incorreta: $p=12\%=0.12$. Se $p=0.12$, então $q=0.3-0.12=0.18$. Mas a condição $p>q$ ($0.12>0.18$) não é satisfeita.
• (E) Correta: $p=20\%=0.20$. Se $p=0.20$, então $q=0.3-0.20=0.10$. A condição $p>q$ ($0.20>0.10) é satisfeita e a soma das proporções (\0.7+0.2+0.1=1) também é satisfeita. **Armadilha da banca:** O valor da probabilidade fornecida no enunciado (\0.0588$) é inconsistente com esta resposta. Para$p=0.20$, o produto$p \times q$seria$0.20 \times 0.10 = 0.02$. Com este produto, a probabilidade calculada seria$12 \times (0.7)^2 \times 0.02 = 12 \times 0.49 \times 0.02 = 0.1176. A banca provavelmente cometeu um erro ao fornecer \0.0588 em vez de \0.1176$no enunciado. No entanto, seguindo o gabarito oficial,$p=20%$ é a resposta.