Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 48)

A distribuição hipergeométrica é usada para calcular a probabilidade de obter um certo número de "sucessos" ao selecionar uma amostra sem reposição de uma população finita. Imagine que você tem um grupo de itens com e sem uma característica específica, e você tira alguns itens sem devolvê-los; a hipergeométrica te diz a chance de quantos itens com aquela característica você vai pegar.

Primeiro, calculamos o número de peças de cada tipo:

• Total de peças no lote ($N$): 20
• Proporção de peças boas: 0,7. Então, $0,7 \times 20 = 14$ peças boas.
• Proporção de peças defeituosas: $1 - 0,7 = 0,3$. Então,$0,3 \times 20 = 6$peças defeituosas (este é o$K$ da fórmula).
• O tamanho da amostra ($n$) é 3 peças.
• Queremos a probabilidade de ter exatamente duas peças defeituosas ($k=2$). Isso significa que teremos $3-2=1$ peça boa na amostra.

A fórmula da probabilidade hipergeométrica é $P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$.
Substituindo os valores:
$P(X=2) = \frac{\binom{6}{2} \binom{14}{1}}{\binom{20}{3}}$

Calculando as combinações:

• $\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$
• $\binom{14}{1} = 14$
• $\binom{20}{3} = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$

Agora, calculamos a probabilidade:
$P(X=2) = \frac{15 \times 14}{1140} = \frac{210}{1140}$

Simplificando a fração:
$\frac{210}{1140} = \frac{21}{114} = \frac{7}{38}$

(A) Incorreta: O valor calculado não corresponde a esta alternativa.
(B) Incorreta: O valor calculado não corresponde a esta alternativa.
(C) Correta: A probabilidade de selecionar exatamente duas peças defeituosas é $7/38$, conforme o cálculo da distribuição hipergeométrica. A informação$p > q$ é um distrator, pois a questão pede a probabilidade de peças "defeituosas" em geral, sem distinguir entre pequenos ou grandes defeitos, tornando o número total de peças defeituosas (6) o dado relevante.
(D) Incorreta: O valor calculado não corresponde a esta alternativa.
(E) Incorreta: O valor calculado não corresponde a esta alternativa.