Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 47)

O estimador de razão é uma técnica de amostragem que utiliza a relação entre duas variáveis, X e Y, para estimar o total ou a média de Y na população, quando o total ou a média de X na população é conhecido. Ele é particularmente útil quando Y e X são altamente correlacionados.

Fórmula do Estimador de Razão para o Total Populacional ($Y_T$):
$\hat{Y}_R = \frac{\sum y_i}{\sum x_i} \times X_T$
Onde:

• $\sum y_i$ é o total amostral de Y (consumo de água).
• $\sum x_i$ é o total amostral de X (área da residência).
• $X_T$ é o total populacional conhecido de X (área total das residências).

Dados fornecidos:

• População (N) = 1000 residências
• Amostra (n) = 200 residências
• Total amostral de X ($\sum x_i$) = 15.000 m²
• Total amostral de Y ($\sum y_i$) = 2.000 m³
• Total populacional de X ($X_T$) = 78.000 m²

Cálculo:

1. Calcular a razão amostral (R):
   R = \frac{\sum y_i}{\sum x_i} = \frac{2.000 \text{ m}^3}{15.000 \text{ m}^2} = \frac{2}{15} \text{ m}^3/\text{m}^2\
2. Estimar o total populacional de Y ($\hat{Y}_R$):
   $\hat{Y}_R = R \times X_T = \frac{2}{15} \times 78.000 \text{ m}^2 = \frac{156.000}{15} = 10.400 \text{ m}^3$

(A) Incorreta: Esta alternativa resulta de uma aplicação incorreta da fórmula ou de um erro de cálculo.
(B) Incorreta: Esta alternativa resulta de uma aplicação incorreta da fórmula ou de um erro de cálculo.
(C) Incorreta: Esta alternativa resulta de uma aplicação incorreta da fórmula ou de um erro de cálculo.
(D) Correta: A estimativa do total de consumo de água para as 1000 residências, usando o estimador de razão, é de 10.400 m³. O cálculo é feito multiplicando a razão amostral de consumo por área ($\frac{2.000}{15.000}$) pelo total populacional conhecido da área (78.000).
(E) Incorreta: Esta alternativa resulta de uma aplicação incorreta da fórmula ou de um erro de cálculo.

Armadilha da Banca (Distrator mais tentador):
Um erro comum seria usar o Estimador de Expansão Simples para o total de Y, ignorando a informação sobre X. Neste caso, o cálculo seria:
$\hat{Y}_{STE} = N \times \bar{y} = N \times (\frac{\sum y_i}{n}) = 1000 \times (\frac{2000}{200}) = 1000 \times 10 = 10.000 \text{ m}^3$.
Embora 10.000 não seja uma das opções, a proximidade com 10.400 (a resposta correta) e 12.600 (opção A) pode confundir o aluno que não aplicar corretamente o estimador de razão ou que cometer um pequeno erro de cálculo. A alternativa A) 12.600 é um distrator tentador por ser um valor plausível, mas incorreto, que pode surgir de uma aplicação equivocada da razão ou de um erro aritmético.