Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 41)

A distribuição exponencial é um modelo de probabilidade que descreve o tempo entre eventos em um processo Poisson, frequentemente usado para a vida útil de componentes, onde a probabilidade de falha é constante ao longo do tempo. A probabilidade total é usada quando um evento pode ocorrer de várias maneiras mutuamente exclusivas, combinando as probabilidades de cada maneira com a probabilidade de que essa maneira específica ocorra.

Primeiro, calculamos as taxas ($\lambda$) para cada tipo de lâmpada, sabendo que a média de uma distribuição exponencial é $1/\lambda$:

• Para lâmpadas tipo I (X): Média = 5000 horas $\implies \lambda_X = 1/5000 = 0,0002$.
• Para lâmpadas tipo II (Y): Média = 8000 horas $\implies \lambda_Y = 1/8000 = 0,000125$.

A probabilidade de uma lâmpada com distribuição exponencial ter duração entre $t_1$ e $t_2$ é $P(t_1 \le T \le t_2) = e^{-\lambda t_1} - e^{-\lambda t_2}$.

1. Probabilidade para lâmpadas tipo I (X):
   $P(4000 \le X \le 6000) = e^{-(0,0002) \cdot 4000} - e^{-(0,0002) \cdot 6000}$
   $= e^{-0,8} - e^{-1,2}$
   Usando os dados fornecidos: $0,45 - 0,30 = 0,15$.

2. Probabilidade para lâmpadas tipo II (Y):
   $P(4000 \le Y \le 6000) = e^{-(0,000125) \cdot 4000} - e^{-(0,000125) \cdot 6000}$
   $= e^{-0,5} - e^{-0,75}$
   Usando os dados fornecidos: $0,61 - 0,47 = 0,14$.

Em seguida, calculamos as probabilidades de selecionar cada tipo de lâmpada do lote:

• Total de lâmpadas = 500.
• Lâmpadas tipo I = 200. $P(\text{Tipo I}) = 200/500 = 0,4$.
• Lâmpadas tipo II = 300. $P(\text{Tipo II}) = 300/500 = 0,6$.

Finalmente, usamos o teorema da probabilidade total para encontrar a probabilidade desejada:
$P(4000 \le \text{Duração} \le 6000) = P(4000 \le X \le 6000) \cdot P(\text{Tipo I}) + P(4000 \le Y \le 6000) \cdot P(\text{Tipo II})$
$= (0,15) \cdot (0,4) + (0,14) \cdot (0,6)$
$= 0,06 + 0,084$
$= 0,144$.

• (A) Incorreta: Este valor (0,072) não corresponde aos cálculos realizados.
• (B) Incorreta: Este valor (0,110) não corresponde aos cálculos realizados.
• (C) Correta: O cálculo resulta em 0,144, que é a soma das probabilidades condicionais ponderadas pela proporção de cada tipo de lâmpada no lote.
• (D) Incorreta: Este valor (0,230) não corresponde aos cálculos realizados. A armadilha aqui pode ser um erro de cálculo ou a tentativa de somar as probabilidades sem a ponderação correta, ou até mesmo uma média simples das probabilidades (0.15 + 0.14) / 2 = 0.145, que ainda não é 0.230.
• (E) Incorreta: Este valor (0,180) não corresponde aos cálculos realizados.