Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 40)

A distribuição uniforme contínua descreve uma variável aleatória onde todos os valores dentro de um intervalo específico têm a mesma probabilidade de ocorrer. É como um sorteio onde cada número entre um limite inferior ($a$) e um limite superior ($b'$) tem a mesma chance de ser escolhido.

• (A) Correta: A variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo $[k, b-k]$. A média de uma distribuição uniforme é $E[X] = \frac{a + b'}{2}$. No nosso caso, $a=k$ e $b'=b-k$.
  Então, $E[X] = \frac{k + (b-k)}{2} = \frac{b}{2}$.
  Dado que a média é 10, temos $\frac{b}{2} = 10 \Rightarrow b = 20$.
  A probabilidade $P(X > x_0)$ para uma distribuição uniforme é $\frac{b' - x_0}{b' - a}$, desde que $a \le x_0 < b'$.
  Dado $P(X > 16) = 0,125$, temos $\frac{(b-k) - 16}{(b-k) - k} = 0,125$.
  Substituindo $b=20$: $\frac{(20-k) - 16}{(20-k) - k} = \frac{4-k}{20-2k} = 0,125 = \frac{1}{8}$.
  Multiplicando em cruz: $8(4-k) = 1(20-2k) \Rightarrow 32 - 8k = 20 - 2k \Rightarrow 12 = 6k \Rightarrow k = 2$.
  Agora, determinamos o intervalo: $a=k=2$ e $b'=b-k=20-2=18$. O intervalo é $[2, 18]$.
  A variância de uma distribuição uniforme é $Var[X] = \frac{(b' - a)^2}{12}$.
  $Var[X] = \frac{(18 - 2)^2}{12} = \frac{16^2}{12} = \frac{256}{12}$.
  Simplificando a fração por 4: $Var[X] = \frac{64}{3}$.
• (B) Incorreta: Esta alternativa ($32/3$) seria obtida se o denominador da fórmula da variância fosse 24 em vez de 12 (ou seja,$\frac{(16)^2}{24} = \frac{256}{24} = \frac{32}{3}$). É um distrator comum para quem confunde a constante na fórmula da variância.
• (C) Incorreta: Não há um erro comum que leve a este valor.
• (D) Incorreta: Não há um erro comum que leve a este valor.
• (E) Incorreta: Não há um erro comum que leve a este valor.