Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 39)

Quando somamos variáveis aleatórias normais independentes, o resultado também é uma variável normal. A média da soma é a soma das médias, e a variância da soma é a soma das variâncias. Para a média amostral de $n$ observações independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) de uma variável normal, a média amostral também será normal, com a mesma média da população e variância igual à variância da população dividida por $n$.

Vamos calcular o tempo total para um funcionário e, em seguida, a média para 4 funcionários:

1. Tempo total para um funcionário (Y):

   • O tempo total para um funcionário é $Y = X_1 + X_2 + X_3$.
   • A média de $Y$ é $E[Y] = E[X_1] + E[X_2] + E[X_3] = 4 + 5 + 3 = 12$ dias.
   • A matriz de covariâncias $\Sigma$ é diagonal, o que significa que $X_1, X_2, X_3$ são variáveis independentes. Portanto, a variância de $Y$ é a soma das variâncias: $Var(Y) = Var(X_1) + Var(X_2) + Var(X_3) = 2 + 3 + 4 = 9$ (dias²).
   • O desvio padrão de $Y$ é $\sigma_Y = \sqrt{9} = 3$ dias.
   • Como $X_i$ são normais, $Y$ também tem distribuição normal: $Y \sim N(12, 9)$.

2. Tempo médio para 4 funcionários ($\bar{Y}$):

   • Quatro funcionários são selecionados, então $n=4$.
   • A média do tempo médio é $E[\bar{Y}] = E[Y] = 12$ dias.
   • A variância do tempo médio é $Var(\bar{Y}) = \frac{Var(Y)}{n} = \frac{9}{4} = 2,25$ (dias²).
   • O desvio padrão do tempo médio é $\sigma_{\bar{Y}} = \sqrt{2,25} = 1,5$ dias.
   • O tempo médio $\bar{Y}$ também tem distribuição normal: $\bar{Y} \sim N(12, 2,25)$.

3. Cálculo da probabilidade:

   • Queremos calcular a probabilidade de o tempo médio ser de pelo menos 15 dias, ou seja, $P(\bar{Y} \ge 15)$.
   • Padronizamos a variável $\bar{Y}$ para a distribuição normal padrão $Z$:
     $Z = \frac{\bar{Y} - E[\bar{Y}]}{\sigma_{\bar{Y}}} = \frac{15 - 12}{1,5} = \frac{3}{1,5} = 2$.
   • Então, $P(\bar{Y} \ge 15) = P(Z \ge 2)$.
   • Usando a propriedade da simetria da distribuição normal e os dados fornecidos:
     $P(Z \ge 2) = 1 - P(Z < 2)$.
   • Pela tabela fornecida, $P(Z < 2) = 0,977$.
   • Portanto, $P(Z \ge 2) = 1 - 0,977 = 0,023$.

(A) Correta: O cálculo resulta em $P(Z \ge 2) = 1 - P(Z < 2) = 1 - 0,977 = 0,023$.
(B) Incorreta: Esta alternativa pode ser resultado de um erro no cálculo do escore Z ou na leitura da tabela, por exemplo, se o escore Z fosse aproximadamente 1,625 ($1 - P(Z < 1,625) \approx 0,052$).
(C) Incorreta: Esta alternativa é próxima de $P(Z \ge 1,4) = 1 - 0,919 = 0,081$. Um erro comum que levaria a um escore Z de aproximadamente 1,4 seria calcular a variância da média amostral como $Var(\bar{Y}) = Var(Y)/2 = 9/2 = 4,5$ (usando $n=2$ em vez de $n=4$), o que daria $\sigma_{\bar{Y}} = \sqrt{4,5} \approx 2,12$ e $Z = (15-12)/2,12 \approx 1,41$.
(D) Incorreta: Assim como a alternativa B, esta provavelmente decorre de um erro no cálculo do escore Z ou na leitura da tabela.
(E) Incorreta: Não há um erro comum que leve diretamente a este valor, que é $1/8$.