Questão de Estatística · FGV TJDFT 2022 (nº 60)

Para estimar o número médio de pessoas em fila com um nível de confiança, usamos um intervalo de confiança para a média. Como a amostra é pequena ($n < 30$) e o desvio padrão da população é desconhecido, utilizamos a distribuição t de Student.

A fórmula para o intervalo de confiança é $\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$, onde:

• $\bar{x}$ é a média amostral.
• $t_{\alpha/2, n-1}$ é o valor crítico da distribuição t para um nível de confiança de 95% (bilateral) e $n-1$ graus de liberdade.
• $s$ é o desvio padrão amostral.
• $n$ é o número de replicações (tamanho da amostra).

Passo a passo com os dados fornecidos:

1. Calcular a média amostral ($\bar{x}$):
   Os dados são: 2.5, 3.1, 2.8, 2.2, 3.5, 2.9, 2.7, 3.0, 2.6.
   Soma = $2.5 + 3.1 + 2.8 + 2.2 + 3.5 + 2.9 + 2.7 + 3.0 + 2.6 = 25.3$. Número de replicações ($n$) = 9.$\bar{x} = 25.3 / 9 \approx 2.811$.

2. Calcular o desvio padrão amostral ($s$):
   Primeiro, calculamos a soma dos quadrados das diferenças de cada valor em relação à média: $\sum(x_i - \bar{x})^2$.
   $(2.5 - 2.811)^2 + (3.1 - 2.811)^2 + ... + (2.6 - 2.811)^2 \approx 1.1289$.
   A variância amostral ($s^2$) é $\sum(x_i - \bar{x})^2 / (n-1)$.
   $s^2 = 1.1289 / (9-1) = 1.1289 / 8 \approx 0.1411$.
   O desvio padrão amostral ($s$) é $\sqrt{s^2} = \sqrt{0.1411} \approx 0.3756$.

3. Determinar os graus de liberdade ($df$) e o valor t:
   Graus de liberdade ($df$) = $n - 1 = 9 - 1 = 8$.
   Para um intervalo de confiança de 95% (bilateral), $\alpha = 0.05$, então $\alpha/2 = 0.025$.
   Consultando a tabela da distribuição t para $df=8$ e $\alpha/2=0.025$, encontramos $t_{0.025, 8} = 2.306$.

4. Calcular o erro padrão da média ($SE$):
   $SE = s / \sqrt{n} = 0.3756 / \sqrt{9} = 0.3756 / 3 \approx 0.1252$.

5. Calcular a margem de erro ($ME$):
   $ME = t \cdot SE = 2.306 \cdot 0.1252 \approx 0.2887$.

6. Construir o intervalo de confiança:
   $CI = \bar{x} \pm ME = 2.811 \pm 0.2887$.
   Limite Inferior: $2.811 - 0.2887 = 2.5223. Limite Superior: \2.811 + 0.2887 = 3.0997$. O intervalo de confiança calculado com os dados fornecidos é aproximadamente$[2.52; 3.10]$.

Análise das alternativas:

• (A) Incorreta: O intervalo [1,83;3,39] tem uma média de 2.61 e uma margem de erro de 0.78. Esses valores não correspondem aos cálculos feitos com os dados fornecidos.
• (B) Incorreta: O intervalo [1,73;3,50] tem uma média de 2.615 e uma margem de erro de 0.885. Esses valores não correspondem aos cálculos feitos com os dados fornecidos.
• (C) Correta: Apesar dos cálculos rigorosos com os dados fornecidos levarem a um intervalo diferente (aproximadamente [2.52; 3.10]), a alternativa C é o gabarito oficial. Para que o intervalo [1,69; 3,53] seja o correto, o valor da média amostral ($\bar{x}$) deveria ser o ponto central do intervalo, ou seja, $(1.69 + 3.53) / 2 = 2.61$. Além disso, a margem de erro seria $(3.53 - 1.69) / 2 = 0.92$. Utilizando a fórmula da margem de erro $ME = t \cdot s / \sqrt{n}$, com $t=2.306$ e $n=9$, o desvio padrão amostral ($s$) necessário para obter essa margem de erro seria $s = (0.92 \cdot 3) / 2.306 \approx 1.1968$. A pegadinha da banca aqui é que os dados fornecidos na tabela não resultam na média (2.61) e no desvio padrão (1.1968) que levariam a este intervalo. Isso sugere um possível erro nos dados da questão ou na elaboração do gabarito, pois um intervalo de confiança deve ser simétrico em torno da média amostral calculada a partir dos dados.
• (D) Incorreta: O intervalo [0,33;4,83] tem uma média de 2.58 e uma margem de erro de 2.25. Esses valores não correspondem aos cálculos feitos com os dados fornecidos e a margem de erro é excessivamente grande para o desvio padrão calculado.
• (E) Incorreta: O intervalo [0,04;5,12] tem uma média de 2.58 e uma margem de erro de 2.54. Esses valores não correspondem aos cálculos feitos com os dados fornecidos e a margem de erro é ainda maior que na alternativa D.