Questão de Estatística · FGV TJDFT 2022 (nº 41)

Para entender como a variância de uma função linear se comporta, lembre-se que a variância mede o quanto os valores de uma variável aleatória estão dispersos em relação à sua média. Se você soma ou subtrai uma constante de todos os valores, a dispersão não muda; mas se você multiplica por uma constante, a dispersão se altera pelo quadrado dessa constante.

A função é $y = 10 + 4x$.
A variância de $x$ é $Var(x) = 10$.

A regra para a variância de uma combinação linear $Y = aX + b$ é $Var(Y) = a^2 Var(X)$.
Neste caso, $a = 4$ e $b = 10$.
Portanto, $Var(y) = 4^2 \times Var(x)$.
$Var(y) = 16 \times 10$.
$Var(y) = 160$.

(A) Incorreta: Esta alternativa (40) resultaria de multiplicar o coeficiente de x pela variância ($4 \times 10$), esquecendo-se de que o coeficiente deve ser elevado ao quadrado.
(B) Incorreta: Esta alternativa (50) resultaria de somar a constante à multiplicação simples do coeficiente pela variância ($10 + 4 \times 10$). A constante não afeta a variância, e o coeficiente deve ser elevado ao quadrado.
(C) Correta: A variância de uma combinação linear $Y = aX + b$ é dada por $Var(Y) = a^2 Var(X)$. Aqui, $a=4$ e $Var(X)=10$, então $Var(Y) = 4^2 \times 10 = 16 \times 10 = 160$.
(D) Incorreta: Esta é a armadilha mais comum! Esta alternativa (170) resultaria de somar a constante (10) ao resultado correto da variância ($10 + 4^2 \times 10 = 10 + 160 = 170$). A constante aditiva (10) não afeta a variância porque ela apenas desloca a distribuição dos dados, sem alterar sua dispersão.
(E) Incorreta: Esta alternativa (400) não segue as regras da variância de uma combinação linear. Poderia ser o resultado de uma multiplicação incorreta como $4 \times 10 \times 10$, que não tem fundamento nas propriedades da variância.