Questão de Estatística · FGV TJDFT 2022 (nº 24)

A probabilidade de um evento é a razão entre o número de resultados favoráveis (aqueles que atendem à condição desejada) e o número total de resultados possíveis (todas as formas de acontecer o evento). Para calcular o número de maneiras de escolher itens de um conjunto sem importar a ordem, usamos a fórmula de combinação $C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)$.

Primeiro, calculamos o número total de maneiras de escolher 3 dias de plantão em uma semana de 7 dias:
$C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3 \times 2 \times 1 \times 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{6} = 35$.
Existem 35 maneiras possíveis de o analista ser escalado para os 3 plantões.

Em seguida, calculamos o número de maneiras em que o analista não é escalado para dias consecutivos. Como sábado e domingo são considerados dias consecutivos, a semana deve ser tratada como um arranjo circular. Para escolher $k$ itens não consecutivos de $n$ itens em um círculo, a fórmula é $\frac{n}{n-k} C(n-k, k)$.
Neste caso, $n=7$ (dias da semana) e $k=3$ (plantões).
Número de maneiras sem dias consecutivos = $\frac{7}{7-3} C(7-3, 3) = \frac{7}{4} C(4, 3) = \frac{7}{4} \times 4 = 7$.
As 7 combinações de dias não consecutivos são: (Dom, Ter, Qui), (Dom, Ter, Sex), (Dom, Qua, Sex), (Seg, Qua, Sex), (Seg, Qua, Sáb), (Seg, Qui, Sáb), (Ter, Qui, Sáb).

A probabilidade é a razão entre o número de maneiras sem dias consecutivos e o total de maneiras:
Probabilidade = $7 / 35 = 1/5$.

(A) Incorreta: Esta alternativa (3/5) seria obtida se o número de casos favoráveis fosse 21. 21 é o número de combinações em que exatamente um par de dias é consecutivo (por exemplo, (Dom, Seg, Qua)). A pegadinha aqui é confundir "não ser escalado para dias consecutivos" (o que significa nenhum par consecutivo) com alguma outra condição, como "não ter todos os dias consecutivos" ou "ter apenas um par consecutivo".
(B) Incorreta: O valor 3/7 não corresponde aos cálculos de combinações para este problema.
(C) Incorreta: O valor 1/3 não corresponde aos cálculos de combinações para este problema.
(D) Correta: A probabilidade de o analista não ser escalado para dias consecutivos é de 1/5, calculada dividindo o número de combinações sem dias consecutivos (7) pelo número total de combinações possíveis (35).
(E) Incorreta: O valor 1/7 não corresponde aos cálculos de combinações para este problema.