Questão de Estatística · FGV TJ-SE Servidor 2023 (nº 57)

A variância mede o quanto os valores de uma variável aleatória se dispersam em torno de sua média. A covariância mede a direção e a intensidade da relação linear entre duas variáveis aleatórias, indicando se elas tendem a se mover na mesma direção (covariância positiva) ou em direções opostas (covariância negativa).

A relação fundamental entre a variância da diferença de duas variáveis aleatórias e a covariância entre elas é dada pela fórmula:
$Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) - 2 \cdot Cov(X, Y)$

Substituindo os valores fornecidos na questão:
$Var(X) = 8$
$Var(Y) = 2$
$Var(X-Y) = 0$

Temos:
$0 = 8 + 2 - 2 \cdot Cov(X, Y)$
$0 = 10 - 2 \cdot Cov(X, Y)$

Para encontrar $Cov(X, Y)$, isolamos o termo:
$2 \cdot Cov(X, Y) = 10$
$Cov(X, Y) = \frac{10}{2}$
$Cov(X, Y) = 5$

(A) Incorreta: Esta alternativa seria correta se as variáveis X e Y fossem independentes, pois nesse caso a covariância seria zero. No entanto, se $Cov(X,Y)=0$, então $Var(X-Y)$ seria $Var(X)+Var(Y) = 8+2=10$, o que contradiz a informação de que $Var(X-Y)=0$. Esta é a armadilha mais comum: assumir independência ou esquecer o termo da covariância na fórmula da variância da diferença.
(B) Incorreta: O valor não corresponde ao cálculo correto da covariância.
(C) Incorreta: O valor não corresponde ao cálculo correto da covariância.
(D) Correta: O cálculo utilizando a fórmula $Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) - 2 \cdot Cov(X, Y)$ resulta em $Cov(X, Y) = 5$.
(E) Incorreta: O valor não corresponde ao cálculo correto da covariância.