Questão de Estatística · FGV TJ-SE Servidor 2023 (nº 45)

O Teorema de Bayes nos ajuda a calcular como a probabilidade de um evento (como uma pessoa ser culpada) muda quando obtemos novas informações (evidências). Ele conecta a probabilidade inicial (antes da evidência) com a probabilidade atualizada (depois da evidência).

Para resolver a questão, vamos definir os eventos:

• $G$: A pessoa é verdadeiramente Culpada.
• $I$: A pessoa é verdadeiramente Inocente.
• $K$: A pessoa é Condenada (julgada culpada).
• $NK$: A pessoa Não é Condenada (julgada inocente).

As informações dadas são:

1. Probabilidade a priori de ser condenada: $P(K) = 20\% = 0.20$. Esta é a taxa geral de condenação.
2. Probabilidades das evidências (A e B) dado o estado real:
   • $P(A|G) = 0.70$ (Evidência A aparece se culpado)
   • $P(B|G) = 0.90$ (Evidência B aparece se culpado)
   • $P(A|I) = 0.10$ (Evidência A aparece se inocente)
   • $P(B|I) = 0.05$ (Evidência B aparece se inocente)

A pergunta é: "a cada quantos julgamentos uma pessoa inocente será condenada, mesmo na ausência de qualquer uma das duas evidências".

A frase "mesmo na ausência de qualquer uma das duas evidências" é crucial. Ela significa que as probabilidades condicionais das evidências A e B ($P(A|G)$, $P(A|I)$, etc.) não devem ser usadas para esta parte do cálculo. O que nos resta é a probabilidade a priori de ser condenada, $P(K) = 0.20$.

Esta é a "armadilha" da banca: a maioria dos dados sobre as evidências A e B são distratores para esta pergunta específica. A questão está pedindo a taxa de "falsos positivos" (condenar um inocente) sem a influência dessas evidências específicas.

Para resolver, precisamos de mais informações que não foram dadas explicitamente, mas são implícitas em problemas desse tipo:

• A probabilidade a priori de ser verdadeiramente culpado, $P(G)$. Em muitos problemas de Bayes, a "probabilidade a priori de ser condenado" é interpretada como a prevalência de culpa na população. Vamos assumir $P(G) = 0.20$.
• Consequentemente, a probabilidade a priori de ser verdadeiramente inocente é $P(I) = 1 - P(G) = 1 - 0.20 = 0.80$.

A pergunta "a cada quantos julgamentos uma pessoa inocente será condenada" está pedindo o inverso da probabilidade de uma pessoa ser condenada dado que ela é inocente, ou seja, $1 / P(K|I)$. Esta é a taxa de erro tipo I (falso positivo) do sistema judicial sem a influência das evidências A e B.

No entanto, o problema não nos dá $P(K|I)$ diretamente. Ele dá $P(K)$, a probabilidade geral de condenação.
A forma mais comum de interpretar "a cada quantos julgamentos uma pessoa inocente será condenada" quando a probabilidade geral de condenação é dada, e sem o uso de evidências específicas, é que estamos buscando a probabilidade de ser verdadeiramente inocente entre os condenados, ou seja, $P(I|K)$.
Se $P(I|K)$ é a probabilidade, então "a cada quantos" seria $1 / P(I|K)$.

Vamos usar a fórmula de Bayes: $P(I|K) = \frac{P(K|I) \times P(I)}{P(K)}$.
Ainda precisamos de $P(K|I)$ (probabilidade de condenar um inocente) e $P(K|G)$ (probabilidade de condenar um culpado) para que $P(K) = P(K|G)P(G) + P(K|I)P(I)$ seja consistente.

A única maneira de obter a resposta 143 com os dados fornecidos e a restrição "ausência de qualquer uma das duas evidências" é se a questão estiver implicitamente pedindo a probabilidade de um falso positivo ($P(K|I)$) ou a probabilidade de ser inocente dado condenado ($P(I|K)$) se a decisão de condenação for tomada apenas com base nas probabilidades a priori de culpa/inocência, sem qualquer evidência específica.

Se a "probabilidade a priori de a pessoa ser condenada é de 20%" se refere à probabilidade de ser verdadeiramente culpado ($P(G)=0.20$), e a decisão de condenação sem evidências é feita de tal forma que a taxa de condenação de inocentes é muito baixa, e a taxa de condenação de culpados é alta.

A interpretação que leva ao gabarito 143 é que a questão está pedindo a probabilidade de uma pessoa ser verdadeiramente inocente dado que foi condenada, se a condenação se baseia apenas na probabilidade a priori de culpa (ou seja, se a condenação é um "teste positivo" que reflete a prevalência da culpa).
Nesse caso, a probabilidade de ser condenado se for culpado seria 1 ($P(K|G)=1$), e a probabilidade de ser condenado se for inocente seria 0 ($P(K|I)=0$). Mas isso implicaria que nenhum inocente seria condenado, o que contradiz a pergunta.

A formulação da questão é ambígua. No entanto, para chegar ao resultado 143, a interpretação mais plausível (embora não explicitamente declarada) é que a questão está perguntando sobre a probabilidade de ser inocente dado que foi condenado ($P(I|K)$), e que a taxa de condenação de inocentes é uma fração muito pequena da taxa de condenação geral.

Se a pergunta é "a cada quantos julgamentos uma pessoa inocente será condenada", e a resposta é 143, isso significa que $P(\text{Condenada e Inocente}) = 1/143$.
Mas $P(\text{Condenada e Inocente}) = P(\text{Condenada} | \text{Inocente}) \times P(\text{Inocente})$.
Se $P(G) = 0.20$, então $P(I) = 0.80$.
Então $P(\text{Condenada} | \text{Inocente}) = (1/143) / 0.80 = 1 / (143 \times 0.80) = 1 / 114.4 \approx 0.00874$.
Isso seria a probabilidade de condenar um inocente. A pergunta pede "a cada quantos julgamentos", que seria $1 / P(\text{Condenada} | \text{Inocente})$.
Então, $1 / (1/114.4) = 114.4$. Isso não é 143.

A única forma de chegar a 143 é se a pergunta for "a cada quantos condenados, um é inocente", ou seja, $1 / P(I|K)$. Se$P(I|K) = 1/143$, então$P(I|K) \approx 0.00699$. Usando a fórmula de Bayes:$P(I|K) = \frac{P(K|I) \times P(I)}{P(K)}$. Se$P(G) = 0.20$, então$P(I) = 0.80$. Se$P(K) = 0.20$(a taxa geral de condenação). Então$1/143 = \frac{P(K|I) \times 0.80}{0.20}$.$1/143 = P(K|I) \times 4$.$P(K|I) = 1 / (143 \times 4) = 1 / 572 \approx 0.001748$.
Isso significaria que a probabilidade de condenar um inocente é de 1 em 572.
E a cada 143 condenados, 1 é inocente.

A "armadilha" é que a pergunta "a cada quantos julgamentos uma pessoa inocente será condenada" é ambígua. Pode significar $1/P(K|I) (de todos os inocentes, quantos são condenados) ou \1/P(I|K)$ (de todos os condenados, quantos são inocentes). Dada a resposta 143, a segunda interpretação é a que se alinha com o gabarito.

Portanto, a questão está pedindo a probabilidade de uma pessoa ser verdadeiramente inocente dado que ela foi condenada, e então o inverso dessa probabilidade.
Para isso, precisamos assumir que a "probabilidade a priori de a pessoa ser condenada é de 20%" se refere à prevalência de culpa na população ($P(G) = 0.20$).
E que a condenação sem as evidências A ou B significa que o sistema de justiça tem uma taxa de erro que resulta em 20% de condenações no total, e que a taxa de condenação de inocentes é uma fração dessa.

Vamos assumir a interpretação que leva ao gabarito:

1. Probabilidade a priori de ser culpado: $P(G) = 0.20$.
2. Probabilidade a priori de ser inocente: $P(I) = 1 - P(G) = 0.80$.
3. Probabilidade de ser condenado (geral): $P(K) = 0.20$. (Esta é a taxa geral de condenação, que deve ser consistente com as taxas de condenação de culpados e inocentes).

A pergunta é "a cada quantos julgamentos uma pessoa inocente será condenada". Esta é a probabilidade de um falso positivo (condenar um inocente).
Se a pergunta fosse "a cada quantos condenados, um é inocente", a resposta seria $1/P(I|K). Se a pergunta fosse "a cada quantos *inocentes*, um é condenado", a resposta seria \1/P(K|I)$.

O gabarito 143 sugere que a pergunta está implícita em $1/P(I|K)$, ou seja, "a cada quantos condenados, um é inocente". Para calcular$P(I|K)$, precisamos de$P(K|I)$e$P(K|G)$.$P(K) = P(K|G)P(G) + P(K|I)P(I)$.$0.20 = P(K|G) \times 0.20 + P(K|I) \times 0.80$.

A frase "mesmo na ausência de qualquer uma das duas evidências" significa que as evidências A e B não são usadas.
Isso implica que a decisão de condenação é baseada em alguma taxa de erro inerente