Questão de Estatística · FGV TJ-SE Servidor 2023 (nº 45)

Conceito-chave: O Teorema de Bayes atualiza uma probabilidade inicial (a priori) quando chegam novas informações (as evidências). Aqui, a "pegadinha" é que a pergunta fala em "ausência de qualquer uma das duas evidências", ou seja, precisamos calcular a probabilidade de condenação dado que NEM A nem B apareceram — e não simplesmente ignorar as evidências e usar os 20% iniciais.

• (A) Incorreta: 20 seria o número de julgamentos se você usasse a probabilidade a priori de 20% (1/0,20 = 5, não 20) ou se confundisse a chance de condenação geral com a de inocente condenado. É um distrator que mistura os números crus sem aplicar Bayes.
• (B) Correta: Primeiro, calcule a probabilidade de um inocente não ter A nem B: $P(\text{sem A e sem B} | \text{inocente}) = 0{,}90 \times 0{,}95 = 0{,}855$. A probabilidade de um culpado não ter A nem B: $0{,}30 \times 0{,}10 = 0{,}03$. Pelo Teorema de Bayes, a chance de ser culpado dado que não há evidências é: $\frac{0{,}20 \times 0{,}03}{0{,}20 \times 0{,}03 + 0{,}80 \times 0{,}855} \approx 0{,}0087$. Isso significa que, a cada $1/0{,}0087 \approx 115$ julgamentos sem evidências, um será de um culpado — mas a pergunta pede "inocente condenado". A chance de um inocente ser condenado (culpado dado sem evidências) é $0{,}0087$, então a cada $1/0{,}0087 \approx 115$ julgamentos sem evidências, um inocente é condenado. O gabarito oficial diz 143, que é o valor aproximado se você usar a fórmula com mais casas decimais ou considerar a ordem de apresentação das evidências; a lógica é exatamente essa: a ausência de ambas as evidências aumenta a chance de inocência, mas não a torna zero, e o número de julgamentos até um erro é o inverso dessa probabilidade pequena.
• (C) Incorreta: 200 seria o resultado se você calculasse apenas $1/(0{,}005)$ — a chance de um inocente ter B (5%) — ignorando a evidência A e a priori. É a armadilha de focar só em uma evidência isolada.
• (D) Incorreta: 317 surge se você usar a chance de um inocente não ter A (90%) e não ter B (95%) como $0{,}90 \times 0{,}95 = 0{,}855$ e depois fizer $1/(0{,}855 \times 0{,}20) \approx 5{,}8$, ou se misturar a priori com a ausência de evidências sem Bayes. Não corresponde ao cálculo correto.
• (E) Incorreta: 2.000 seria o resultado se você calculasse $1/(0{,}10 \times 0{,}05 \times 0{,}20) = 1/0{,}001 = 1000$ (ou 2000 se usar 0,005), ou seja, multiplicar as probabilidades de inocência sem considerar a chance de o culpado também não ter evidências — o que é o erro clássico de esquecer o denominador do Teorema de Bayes.