Questão de Estatística · FGV TJ-AP 2024 (nº 71)

A Distribuição Binomial Negativa modela o número de tentativas (ou falhas) necessárias para se obter um número fixo de sucessos em uma sequência de ensaios independentes. A variável aleatória aqui é o número de tentativas até o $r$-ésimo sucesso, ou o número de falhas antes do $r$-ésimo sucesso.

Para calcular a variância, usamos a fórmula $Var[X] = \frac{r(1-p)}{p^2}$, onde $r$ é o número de sucessos desejados e $p$ é a probabilidade de sucesso em cada ensaio. A frase "100 ensaios" na questão é uma pegadinha, pois em uma Distribuição Binomial Negativa, o número de ensaios é a variável aleatória; o que é fixo é o número de sucessos. Para que a resposta esteja entre as opções, "100 ensaios" deve ser interpretado como o número de sucessos desejados ($r=100$).

Dados:

• Número de sucessos desejados ($r$) = 100
• Probabilidade de sucesso ($p$) = 0,50
• Probabilidade de fracasso ($1-p$) = 0,50

Cálculo da variância:
$Var[X] = \frac{100 \times (0,50)}{(0,50)^2} = \frac{50}{0,25} = 200$.

(A) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo da variância para os parâmetros fornecidos.
(B) Correta: O valor 200 é obtido aplicando a fórmula da variância da Distribuição Binomial Negativa $Var[X] = \frac{r(1-p)}{p^2}$, com $r=100$ e $p=0,50$.
(C) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo da variância para os parâmetros fornecidos.
(D) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo da variância para os parâmetros fornecidos.
(E) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo da variância para os parâmetros fornecidos.