Questão de Estatística · FGV TJ-AP 2024 (nº 66)

O Teorema Central do Limite (TCL) e a Lei dos Grandes Números (LGN) são pilares da estatística inferencial. O TCL nos diz que a distribuição das médias de muitas amostras (a distribuição amostral da média) se aproxima de uma distribuição normal, mesmo que a população original não seja normal, desde que as amostras sejam grandes o suficiente. Já a LGN afirma que, quanto maior a amostra, mais a média dessa amostra se aproxima da verdadeira média da população.

(A) Incorreta: O TCL prevê que a variância da média amostral (o erro padrão ao quadrado) diminui com o aumento do tamanho da amostra ($\sigma^2/n$). A alternativa fala da "variância das alturas das árvores", que se refere à variância da população ou das observações individuais, que não diminui com o tamanho da amostra.
(B) Incorreta: O TCL afirma que a distribuição amostral da média (a distribuição de muitas médias de amostras) se aproxima de uma normal, não que a "média das alturas das árvores" (que é um único valor, a média da amostra ou da população) seguirá uma distribuição normal. Além disso, essa aproximação depende do tamanho da amostra ser grande, não é "independentemente do tamanho da amostra".
(C) Incorreta: Tanto o TCL quanto a LGN indicam o oposto: a média amostral se aproxima da média populacional à medida que o tamanho da amostra aumenta.
(D) Incorreta: A LGN estabelece que a média amostral converge para a média populacional, ou seja, se aproxima cada vez mais. Ela não afirma que a média amostral "se igualará" à média populacional, nem que isso aconteceria "independentemente do tamanho da amostra". A igualdade exata é improvável para qualquer amostra finita, e a convergência depende do aumento do tamanho da amostra. Armadilha: A pegadinha aqui é confundir "convergir para" com "ser igual a" e ignorar a dependência do tamanho da amostra.
(E) Correta: Esta alternativa descreve precisamente a Lei dos Grandes Números. Ela afirma que, com o aumento do tamanho da amostra, a média calculada a partir dessa amostra (média amostral) se aproxima cada vez mais do valor esperado da média da população (média populacional).